関数解析学
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関数解析学（かんすうかいせきがく、英: functional analysis、仏: Analyse fonctionnelle、函数解析学とも書かれる。別名は位相解析学。）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している[1][2][3][4]。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される[1][2][3][4]。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い[1][2][3]。また、無限次元空間上での微分 (フレシェ微分など) を扱うため、無限次元空間上での微分積分学という捉え方も可能である[4]。
応用
関数解析の中でも特にヒルベルト空間論は量子力学の数学的基礎である[5][6]。また、コンピュータが高度に発達した現代においては数値解析（特に有限要素法、精度保証付き数値計算）において微分方程式の解の存在を議論するためなどに使われる他[7][8][9][10][11]、機械学習にも応用される[12]。
主な研究者
海外
日本
関連項目
微分
関数解析の定理
不等式
不動点定理
関数空間
作用素
関連分野
半群
出典
- ^ a b c Functional analysis at nLab
- ^ a b c Weisstein, Eric W. "Functional Analysis." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/FunctionalAnalysis.html
- ^ a b c Functional analysis from Encyclopedia of Mathematics
- ^ a b c 関数解析の基礎-
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| 集合 / 部分集合のタイプ | |
|---|---|
| 線型位相空間のタイプ | |
| 位相 | |
| 線型作用素 | |
| 集合の操作 | |
| バナッハ環 | |
| 定理 |
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| 解析 | |
| 応用 |
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| 日本人研究者 | |
| 海外の研究者 | |
 カテゴリ | |
函数解析学
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/04 07:24 UTC 版)
「フレドホルムの交代定理」の記事における「函数解析学」の解説
フレドホルム作用素に関する結果は、無限次元ベクトル空間、バナッハ空間に対して前述の結果を一般化するものである。 上記の積分方程式は、作用素の記法では以下のように定式化できる。（少々乱暴な書き方になるが） T = λ − K {\displaystyle T=\lambda -K} と書けば、 T ( x , y ) = λ δ ( x − y ) − K ( x , y ) {\displaystyle T(x,y)=\lambda \;\delta (x-y)-K(x,y)} を意味するものとする。ここで δ(x − y) はシュヴァルツ超函数あるいはもっとほかの超函数として考えたディラックのデルタ函数である。畳み込みにより、T は函数からなるバナッハ空間 V に作用する線型作用素を誘導する。それも同じく T と書くことにすると、線型作用素 T : V → V ; ϕ ↦ ψ {\displaystyle T\colon V\to V;\;\phi \mapsto \psi } は ψ ( x ) = ∫ a b T ( x , y ) ϕ ( y ) d y = λ ϕ ( x ) − ∫ a b K ( x , y ) ϕ ( y ) d y {\displaystyle \psi (x)=\int _{a}^{b}T(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \;\phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy} で与えられる。 このように書けば、積分方程式に対するフレドホルムの択一定理が、線型代数学の節で述べた有限次元の場合のフレドホルムの択一定理の無限次元の場合の対応物であることが見て取れる。 上述のような、ある L2 の核との畳み込みで与えられる作用素 K は、ヒルベルト＝シュミット積分作用素として知られる。そのような作用素は常にコンパクトである。より一般に、K が任意のコンパクト作用素のときもフレドホルムの択一定理は成立する。フレドホルムの択一定理を「λ がゼロでないならば、それは K の固有値であるか、レゾルベント作用素 R ( λ ; K ) = ( K − λ Id ) − 1 {\displaystyle R(\lambda ;K)=(K-\lambda \operatorname {Id} )^{-1}} の定義域に属するかのいずれか一方が成り立つ。」と言いなおすことができる。
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