シュワルツ超函数
(シュヴァルツ超函数 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/14 06:00 UTC 版)
解析学におけるシュワルツ超函数（シュワルツちょうかんすう、英: distribution; 分布）あるいは超函数（英: generalized function; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の局所可積分函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。
シュヴァルツ超函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/25 07:00 UTC 版)
超函数論において、シュヴァルツ超函数と呼ばれる種類の超函数は試験函数の空間上の線型汎函数として実現される。
※この「シュヴァルツ超函数」の解説は、「線型汎函数」の解説の一部です。
「シュヴァルツ超函数」を含む「線型汎函数」の記事については、「線型汎函数」の概要を参照ください。
シュヴァルツ超函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/22 00:46 UTC 版)
詳細は「シュヴァルツ超函数」を参照 シュヴァルツ超函数 (英: distribution) は、各「試験」函数（典型的には、コンパクト台を持つ無限回微分可能函数）に数を連続的な仕方で割り当てる線型写像をいう。即ち、シュヴァルツ超函数の空間は、試験函数の空間の（連続的）双対である。後者の空間には、試験函数 f それ自体のみならずその高階導函数までを考慮するような位相が入っている。シュヴァルツ超函数の典型的な例はある領域 Ω 上で試験函数 f を積分する作用素 I ( f ) = ∫ Ω f ( x ) d x {\displaystyle I(f)=\int _{\Omega }f(x)\,dx} である。Ω が一点集合 {p} のとき、これは試験函数 f に点 p における値を割り当てるディラック超函数 δ を定める（δ(f) = f(p)）。 シュヴァルツ超函数は微分方程式を解くための強力な道具である。微分は線型であるといったような、解析学の標準的な概念は、自然にシュヴァルツ超函数の空間へ延長することができるから、従って問題の方程式をシュヴァルツ超函数の空間へ引き写すことができて、しかもシュヴァルツ超函数の空間はもとの函数空間よりも大きいから、方程式を解くためにより柔軟な方法が利用できる（例えば、グリーン函数法）。 また、基本解は真の函数でなくシュヴァルツ超函数解（弱解）となるのがふつうであり、弱解から所期の境界条件を満たす方程式の真の解を求めるには、見つかった弱解が実際に真の函数となることを確かめればよく、証明できた場合にはそれがもとの方程式の真の解である（例えばリースの表現定理の帰結であるラックス・ミルグラムの定理が利用できる）。
※この「シュヴァルツ超函数」の解説は、「ベクトル空間」の解説の一部です。
「シュヴァルツ超函数」を含む「ベクトル空間」の記事については、「ベクトル空間」の概要を参照ください。
- シュヴァルツ超函数のページへのリンク
