超函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/17 04:25 UTC 版)
以下の表におけるフーリエ変換は (Erdélyi 1954) あるいは (Kammler 2000) の付録に見つけることができる。 もとの函数ユニタリ・周波に関するフーリエ変換ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換非ユニタリ・角周波に関するフーリエ変換備考 f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} f ^ ( ξ ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π i x ξ d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx} f ^ ( ω ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=} 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ω x d x {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\omega x}\,dx} f ^ ( ν ) = {\displaystyle {\hat {f}}(\nu )=} ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i ν x d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-i\nu x}\,dx} 301 1 {\displaystyle 1} δ ( ξ ) {\displaystyle \delta (\xi )\,} 2 π ⋅ δ ( ω ) {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega )} 2 π δ ( ν ) {\displaystyle 2\pi \delta (\nu )\,} δ(ξ) はディラックのデルタ関数 302 δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)\,} 1 {\displaystyle 1} 1 2 π {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,} 1 {\displaystyle 1} 301の双対 303 e i a x {\displaystyle e^{iax}\,} δ ( ξ − a 2 π ) {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)} 2 π ⋅ δ ( ω − a ) {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot \delta (\omega -a)} 2 π δ ( ν − a ) {\displaystyle 2\pi \delta (\nu -a)\,} 103と301より導かれる。 304 cos ( a x ) {\displaystyle \cos(ax)\,} δ ( ξ − a 2 π ) + δ ( ξ + a 2 π ) 2 {\displaystyle {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)+\delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}} 2 π ⋅ δ ( ω − a ) + δ ( ω + a ) 2 {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega -a)+\delta (\omega +a)}{2}}\,} π ( δ ( ν − a ) + δ ( ν + a ) ) {\displaystyle \pi \left(\delta (\nu -a)+\delta (\nu +a)\right)} 101、303とオイラーの公式： cos ( a x ) = ( e i a x + e − i a x ) / 2. {\displaystyle \displaystyle \cos(ax)=(e^{iax}+e^{-iax})/2.} より導かれる。 305 sin ( a x ) {\displaystyle \sin(ax)\,} i ⋅ δ ( ξ + a 2 π ) − δ ( ξ − a 2 π ) 2 {\displaystyle i\cdot {\frac {\displaystyle \delta \left(\xi +{\frac {a}{2\pi }}\right)-\delta \left(\xi -{\frac {a}{2\pi }}\right)}{2}}} i 2 π ⋅ δ ( ω + a ) − δ ( ω − a ) 2 {\displaystyle i{\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {\delta (\omega +a)-\delta (\omega -a)}{2}}} i π ( δ ( ν + a ) − δ ( ν − a ) ) {\displaystyle i\pi \left(\delta (\nu +a)-\delta (\nu -a)\right)} 101、303と sin ( a x ) = ( e i a x − e − i a x ) / ( 2 i ) . {\displaystyle \displaystyle \sin(ax)=(e^{iax}-e^{-iax})/(2i).} より導かれる。 306 cos ( a x 2 ) {\displaystyle \cos(ax^{2})\,} π a cos ( π 2 ξ 2 a − π 4 ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 1 2 a cos ( ω 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2a}}}\cos \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} π a cos ( ν 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\cos \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 307 sin ( a x 2 ) {\displaystyle \sin(ax^{2})\,} − π a sin ( π 2 ξ 2 a − π 4 ) {\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\pi ^{2}\xi ^{2}}{a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} − 1 2 a sin ( ω 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {2a}}}\sin \left({\frac {\omega ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} − π a sin ( ν 2 4 a − π 4 ) {\displaystyle -{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\sin \left({\frac {\nu ^{2}}{4a}}-{\frac {\pi }{4}}\right)} 308 x n {\displaystyle x^{n}\,} ( i 2 π ) n δ ( n ) ( ξ ) {\displaystyle \left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}\delta ^{(n)}(\xi )\,} i n 2 π δ ( n ) ( ω ) {\displaystyle i^{n}{\sqrt {2\pi }}\delta ^{(n)}(\omega )\,} 2 π i n δ ( n ) ( ν ) {\displaystyle 2\pi i^{n}\delta ^{(n)}(\nu )\,} n は自然数、 δ(n )(ξ) はディラックのデルタ関数のn 階微分。107と301より導かれる。さらに101と組み合わせることで、任意の多項式を変換できる。 309 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}\,} − i π sgn ( ξ ) {\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\xi )\,} − i π 2 sgn ( ω ) {\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\operatorname {sgn}(\omega )} − i π sgn ( ν ) {\displaystyle -i\pi \operatorname {sgn}(\nu )\,} sgn(ξ) は符号関数。1/x は超関数ではないことに注意。シュワルツ関数に対してテストするときにコーシーの主値を使用する必要がある。この規則はヒルベルト変換を研究するとき有用である。 310 1 x n {\displaystyle {\frac {1}{x^{n}}}} − i π ( − 2 π i ξ ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ( ξ ) {\displaystyle -i\pi {\frac {(-2\pi i\xi )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\xi )} − i π 2 ⋅ ( − i ω ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ( ω ) {\displaystyle -i{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {(-i\omega )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\omega )} − i π ( − i ν ) n − 1 ( n − 1 ) ! sgn ( ν ) {\displaystyle -i\pi {\frac {(-i\nu )^{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sgn}(\nu )} 309の一般化 311 1 | x | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|x|}}}\,} 1 | ξ | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\xi |}}}} 1 | ω | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {|\omega |}}}} 2 π | ν | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\sqrt {|\nu |}}}} 312 sgn ( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)\,} 1 i π ξ {\displaystyle {\frac {1}{i\pi \xi }}} 2 π ⋅ 1 i ω {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {1}{i\omega }}\,} 2 i ν {\displaystyle {\frac {2}{i\nu }}} 309の双対。積分はコーシーの主値を考える。 313 u ( x ) {\displaystyle u(x)\,} 1 2 ( 1 i π ξ + δ ( ξ ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{i\pi \xi }}+\delta (\xi )\right)} π 2 ( 1 i π ω + δ ( ω ) ) {\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {1}{i\pi \omega }}+\delta (\omega )\right)} π ( 1 i π ν + δ ( ν ) ) {\displaystyle \pi \left({\frac {1}{i\pi \nu }}+\delta (\nu )\right)} u (x ) はヘヴィサイドの階段関数。101、301および312より導かれる。 314 ∑ n = − ∞ ∞ δ ( x − n T ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)} 1 T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ξ − k T ) {\displaystyle {\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\xi -{\frac {k}{T}}\right)} 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π k T ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -{\frac {2\pi k}{T}}\right)} 2 π T ∑ k = − ∞ ∞ δ ( ν − 2 π k T ) {\displaystyle {\frac {2\pi }{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\nu -{\frac {2\pi k}{T}}\right)} この関数はくし型関数といわれる。302、102および、超関数として ∑ n = − ∞ ∞ e i n x = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x + 2 π k ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (x+2\pi k)} であることから導かれる。 315 J 0 ( x ) {\displaystyle J_{0}(x)\,} 2 rect ( π ξ ) 1 − 4 π 2 ξ 2 {\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}} 2 π ⋅ rect ( ω 2 ) 1 − ω 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cdot {\frac {\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}} 2 rect ( ν 2 ) 1 − ν 2 {\displaystyle {\frac {2\,\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}} J0 (x ) は0次の第1種ベッセル関数 316 J n ( x ) {\displaystyle J_{n}(x)\,} 2 ( − i ) n T n ( 2 π ξ ) rect ( π ξ ) 1 − 4 π 2 ξ 2 {\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(2\pi \xi )\operatorname {rect} (\pi \xi )}{\sqrt {1-4\pi ^{2}\xi ^{2}}}}} 2 π ( − i ) n T n ( ω ) rect ( ω 2 ) 1 − ω 2 {\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {(-i)^{n}T_{n}(\omega )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\right)}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}} 2 ( − i ) n T n ( ν ) rect ( ν 2 ) 1 − ν 2 {\displaystyle {\frac {2(-i)^{n}T_{n}(\nu )\operatorname {rect} \left(\displaystyle {\frac {\nu }{2}}\right)}{\sqrt {1-\nu ^{2}}}}} 315の一般化。Jn (x ) はn 次の第1種ベッセル関数、Tn (x ) は第1種チェビシェフ多項式。
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