せき‐ぶん【積分】
読み方：せきぶん
［名］(スル)
１ 与えられた関数について、微分してこの関数になるすべての関数。また、それを求めること。不定積分。
２ ある関数で表される曲線とx座標軸に挟まれた部分を、一定区間に区切ってその面積を極限値として求めること。またその極限値を定積分という。このとき、x軸より上部の面積を正、下部を負として定義する。微分してf（x）になる関数、すなわちf（x）の不定積分をF（x）とすると、積分記号∫を用いて、F（x）＝∫f（x）dxと関係づけられる。区間［a,b］における定積分の値Fは、関数F（x）にx＝a、bの値を代入して、その差をとることで得られる。すなわちF＝F（b）－F（a）で求められる。
[補説] これら積分と微分が互いに逆の演算であるという関係性は微分積分学の基本定理とよばれ、17世紀後半にニュートンとライプニッツによって独立して導かれ、やがて解析学という数学の一大分野に発展した。ある現象を特徴づける数量の変化を表す関数があり、それを積分した関数が得られれば、変化の積み重ねによって起こりうる現象を予測したり、数量を見積もったりすることができる。このように、積分は微分とともに、現代においてさまざまな現象を数学的に記述するための重要な手法となっている。
積分法
(積分 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/04/21 13:55 UTC 版)
積分法（せきぶんほう、英: integral calculus）は、微分法とともに微分積分学で対をなす主要な分野である。
説明での数式の書き方は広く普及しているライプニッツの記法に準ずる。
実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される実変数 x の関数 f の定積分（独: bestimmtes Integral、英: definite integral、仏: intégrale définie）
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√x の 0 から 1 までの積分の近似：5個の■は右上の点を標本点として上からの評価を与え、10個の■は左上の点を標本点として下からの評価を与える。 手始めに、x = 0 から x = 1 までの間で f (x) = √x によって与えられる曲線 y = f (x) を考え、
- x = 0 から x = 1 までの区間において f の下にある領域の面積はいくらか
という問いを立てて、この（未知の）面積を f の積分と呼んで
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リーマン和 実数 a 、b が a < b であるとき、区間 E = [a, b] の分割とは、
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リーマン和が収斂する様子の模式図 区間 E の点付き分割 Δ* = {(Ei, ξi) : Ei = [xi−1, xi], ξi ∈ Ei} があたえられたとき、
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ある分割に対する下ダルブー和および上ダルブー和 -
リーマン＝ダルブー積分（青）とルベーグ積分（赤） リーマン積分は広い範囲の関数や応用上重要な状況（および理論的に興味深い状況）では定義されないことも多い。例えば、鉄骨の密度を積分してその質量を得ることはリーマン積分で容易に求められるが、その上に静止している鉄球にまでは適応することができない。これが動機となって、より広い範囲の関数を積分することのできる新しい定義が生み出された(Rudin 1987)。特にルベーグ積分は、重み付き和の重み付けの方に注目することによってきわめて柔軟な性質を持つに至った。
ルベーグ積分の定義は測度 μ を考えることから始まる。最も単純な場合は、区間 A = [a, b] のルベーグ測度 μ(A) を区間の幅 μ(A) ≔ b − a で定義するもので、従ってルベーグ積分は、（狭義）リーマン積分と（両者が存在する限りは）一致する。より複雑な場合には、連続性も持たず、区間とは全く類似点の無いような、高度に断片化した様々な集合も測度を測ることができる。
このような柔軟性を十分に引き出すために、ルベーグ積分は重み付き和に対してリーマン積分とは「逆」なアプローチをとる。Folland (1984, p. 56)に言わせると、「 f のリーマン積分を計算するには領域 [a, b] を小区間に分割する」が、一方ルベーグ積分は「実質的に f の値域を分割する」ものである。
よくある仕方では、まず可測集合 A の指示関数の積分の定義を
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曲面の下にある体積としての二重積分 区間以外の積分領域を考えることもできる。一般に写像 f の集合 E 上でとった積分を
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線積分は曲線に沿って元を足し合わせる 積分の概念はもっと一般の積分領域にも拡張することができる。例えば曲線や曲面を積分領域とする積分は、それぞれ線積分や面積分と呼ばれる。これらはベクトル場を扱うような物理学に応用を持つ。
線積分は曲線に沿って評価された関数の積分である。線積分にも様々なものがあり、特に閉曲線に関する線積分を周回積分などとも呼ぶ。
積分の対象となる関数はスカラー場であるかもしれないし、ベクトル場であるかもしれない。線積分の値というのは、曲線上の各点における場の値に曲線上の適当なスカラー関数（普通は弧長、あるいはベクトル場に対しては曲線における接ベクトルとの内積）を重みとして掛けたものの和である。この重み付けこそが、線積分と通常の区間上で定義される積分とを区別するものである。物理学における簡単な公式の多くは、線積分を用いることで自然に連続的な類似対応物に書き換えることができる。例えば、力学における仕事が力 F と移動距離 s との積（ベクトル量としての点乗積）
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面積分は曲面を微小な面素に分割して足し合わせることの極限として定義される。 面積分は空間内の曲面の上で定義される定積分で、線積分の二次元的な類似物である。積分される関数はやはりスカラー場かもしれないしベクトル場かもしれない。面積分の値というのは、曲面上の各点における場の値の総和であり、曲面を面素に分割することによって得られるリーマン和の極限として構成される。
面積分の応用例としては、曲面 S 上のベクトル場 v（つまり、S の各点 x に対して v(x) がベクトル）が与えられているとき、S を通過する流体で x における流体の速度が v(x) で与えられる状況を考えればよい。流束は単位時間当たりに S を通過する流体の量として定義される。流束を求めるためには、各点で v と単位法ベクトルとの点乗積をとる必要があり、その結果得られたスカラー場を曲面上で積分した
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- ベルンハルト・リーマン、足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介訳『リーマン論文集』朝倉書店、2004年 ISBN 978-4-254-114607
- 猪狩惺『実解析入門』岩波書店
- 新井仁之『ルベーグ積分講義』日本評論社
- 杉浦, 光夫『解析入門I』東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。 ISBN 978-4-13-062005-5。
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関連項目
外部リンク
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- definite integral - PlanetMath.
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オンライン本
- Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
- Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
- Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
- Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
- Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
- Hohenwarter, Markus; Schmidtpott, Sandra. Einführung in die Integralrechnung, Online-Lehrbuch und Aufgaben
- Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
- Kowalk, W.P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
- Rudolph, Dennis, Integralrechnung, Online-Lehrbuch
- Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
- Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
- P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques
| 国立図書館 | |
|---|---|
| その他 | |
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 01:23 UTC 版)
上に示した線素を用いると、ベクトル F の経路 P {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}} に沿った線積分は次のようになる。 ∫ P F ⋅ d r = ∫ P ∑ i F i e i ⋅ ∑ j e j d q j = ∑ i ∫ P F i d q i {\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}} 1つの座標qkを一定にして記述した面の面積の無限小要素は、以下のように変換され、 d A k = ∏ i ≠ k d s i = ∏ i ≠ k h i d q i {\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}} 同様に、体積要素も以下のように変換される。 d V = ∏ i d s i = ∏ i h i d q i {\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}} ここで、大きな記号Π（πの大文字）は、総乗を示す。即ち、すべてのスケールファクターの積はヤコビ行列式に等しいことを意味している。 例として、3次元のq1 = 定数で定まる面 S {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}} 上のベクトル値関数Fの面積分は次のようになる。 ∫ S F ⋅ d A = ∫ S F ⋅ n ^ d A = ∫ S F ⋅ e ^ 1 d A = ∫ S F 1 h 2 h 3 h 1 d q 2 d q 3 {\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}} ただし、F1/h1は、Fの、この表面に垂直な成分である。
※この「積分」の解説は、「直交曲線座標」の解説の一部です。
「積分」を含む「直交曲線座標」の記事については、「直交曲線座標」の概要を参照ください。
積分
「積分」の例文・使い方・用例・文例
- 積分学
- お返しに微積分のノートを貸してあげるわ。
- この微積分問題の答えを出しなさい.
- 彼は代数機何もろくに知らないまして微積分をやだ
- 積分法
- その積分を算出する
- 微積分学の実用化
- 関数の積分を求める計算法において用いられる演算
- 代数と微積分を使って方法論を使用する、または方法論を受ける
- それが微積分学を含んでいるため、我々は項の終わりにそれを与えた
- 微積分学の問題の解決に近似するためのアルゴリズムを研究する数学の部門
- 極限値、および関数の微分と積分に関する数学の分野
- 微積分と限界値理論に関する数学の分野
- 微分係数と差の概念によって独立変数（または変数）の変化に関して関数の変動に対処する微積分学の部分
- 微分方程式や測定範囲、または体積における方程式の解での積分やその応用を処理する微積分学の一部
- 数学的な積分の結果
- Cがあらゆる実数であり、F(x)がf(x)の積分である関数の組F(x)+C
- 定積分内の関数の積分
- 定積分の最大値と最小値の計算
- 宇宙が独立したモナドから成ることについて考え、ニュートンとは無関係に微積分学のシステムを考案したドイツの哲学者でと数学者（1646年−1716年）
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