せき‐ぶん【積分】
読み方：せきぶん
［名］(スル)
１ 与えられた関数について、微分してこの関数になるすべての関数。また、それを求めること。不定積分。
２ ある関数で表される曲線とx座標軸に挟まれた部分を、一定区間に区切ってその面積を極限値として求めること。またその極限値を定積分という。このとき、x軸より上部の面積を正、下部を負として定義する。微分してf（x）になる関数、すなわちf（x）の不定積分をF（x）とすると、積分記号∫を用いて、F（x）＝∫f（x）dxと関係づけられる。区間［a,b］における定積分の値Fは、関数F（x）にx＝a、bの値を代入して、その差をとることで得られる。すなわちF＝F（b）−F（a）で求められる。
[補説] これら積分と微分が互いに逆の演算であるという関係性は微分積分学の基本定理とよばれ、17世紀後半にニュートンとライプニッツによって独立して導かれ、やがて解析学という数学の一大分野に発展した。ある現象を特徴づける数量の変化を表す関数があり、それを積分した関数が得られれば、変化の積み重ねによって起こりうる現象を予測したり、数量を見積もったりすることができる。このように、積分は微分とともに、現代においてさまざまな現象を数学的に記述するための重要な手法となっている。
積分法
(積分 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/24 00:59 UTC 版)
積分法（せきぶんほう、英: integral calculus）は、微分法とともに微分積分学で対をなす主要な分野である。
- ^ 黒木哲徳『なっとくする数学記号』講談社〈ブルーバックス〉、2021年、78,79頁。ISBN 9784065225509。
- ^ Hugo D. Junghenn, A Course in Real Analysis, p. 107
- ^ E.ハイラー、G.ヴァンナー 著、蟹江幸博 訳『解析教程』 下巻（新装版）、シュプリンガー・ジャパン、2006年。（解析教程 下, p. 63, - Google ブックス）
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 01:23 UTC 版)
上に示した線素を用いると、ベクトル F の経路 P {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}} に沿った線積分は次のようになる。 ∫ P F ⋅ d r = ∫ P ∑ i F i e i ⋅ ∑ j e j d q j = ∑ i ∫ P F i d q i {\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}} 1つの座標qkを一定にして記述した面の面積の無限小要素は、以下のように変換され、 d A k = ∏ i ≠ k d s i = ∏ i ≠ k h i d q i {\displaystyle dA_{k}=\prod _{i\neq k}ds_{i}=\prod _{i\neq k}h_{i}\,dq^{i}} 同様に、体積要素も以下のように変換される。 d V = ∏ i d s i = ∏ i h i d q i {\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}} ここで、大きな記号Π（πの大文字）は、総乗を示す。即ち、すべてのスケールファクターの積はヤコビ行列式に等しいことを意味している。 例として、3次元のq1 = 定数で定まる面 S {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}} 上のベクトル値関数Fの面積分は次のようになる。 ∫ S F ⋅ d A = ∫ S F ⋅ n ^ d A = ∫ S F ⋅ e ^ 1 d A = ∫ S F 1 h 2 h 3 h 1 d q 2 d q 3 {\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}} ただし、F1/h1は、Fの、この表面に垂直な成分である。
※この「積分」の解説は、「直交曲線座標」の解説の一部です。
「積分」を含む「直交曲線座標」の記事については、「直交曲線座標」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/22 06:06 UTC 版)
微分の場合と同様に、積分と極限の交換をしたいことがある。リーマン積分に対しては、一様収束を仮定すればよい： 定理 コンパクトな区間 I 上で定義されたリーマン可積分関数列 fn が極限 f に一様収束するならば、f もリーマン可積分であり ∫ I f ( x ) d x = lim n → ∞ ∫ I f n ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{I}f(x)\,dx=\lim \limits _{n\to \infty }\int _{I}f_{n}(x)\,dx} が成り立つ。 系として、特にコンパクトな区間 I 上で定義されたリーマン可積分関数列 fn に対して、部分和が級数 f = ∑ n = 1 ∞ f n {\displaystyle \textstyle f=\sum \limits _{n=1}^{\infty }f_{n}} に一様収束しているならば ∫ I f ( x ) d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ I f n ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{I}f(x)\,dx=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\int _{I}f_{n}(x)\,dx} と項別積分できる。
※この「積分」の解説は、「一様収束」の解説の一部です。
「積分」を含む「一様収束」の記事については、「一様収束」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/15 14:26 UTC 版)
デルタ微分に関する反微分（不定積分）としてデルタ積分が定義される。函数 F(t) が連続な導函数 f(t) := FΔ(t) を持つときには ∫ r s f ( t ) Δ ( t ) = F ( s ) − F ( r ) {\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r)} と置けばよい。
※この「積分」の解説は、「時間尺度微分積分学」の解説の一部です。
「積分」を含む「時間尺度微分積分学」の記事については、「時間尺度微分積分学」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/30 16:19 UTC 版)
3 次元ユークリッド空間 R3 の図形 A が（リーマンあるいはルベーグの意味で）体積確定であるというのは、その指示関数 χA は（リーマンあるいはルベーグの意味で）可積分となることであり、積分値 m ( A ) := ∫ R 3 χ A ( x ) d x {\displaystyle m(A):=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\chi _{A}(x)dx} がその集合 A の体積である。一般に可測空間 (X, M) (M ⊂ 2X) が与えられたとき、X の部分集合 A がある測度 μ に関する可測集合であるなら、その指示関数 χA の測度 μ に関する積分値 vol μ ( A ) = μ ( A ) := ∫ X χ A ( ξ ) d μ ( ξ ) {\displaystyle \operatorname {vol} _{\mu }(A)=\mu (A):=\int _{X}\chi _{A}(\xi )\,d\mu (\xi )} を測度 μ に関する A の体積（たいせき、volume）と呼ぶ。 ある集合 X 上の可積分関数 f(x) に対して、X の部分集合 A における f の積分を、しばしば ∫ A f | A ( ξ ) d ξ := ∫ X χ A ( ξ ) f ( ξ ) d ξ {\displaystyle \int _{A}f|_{A}(\xi )\,d\xi :=\int _{X}\chi _{A}(\xi )f(\xi )\,d\xi } によって（各積分が定義できる限り）定める。特に、集合 supp(f) を {x ∈ X | f(x) ≠ 0} の閉包（f の台とよばれる）とすると ∫ X f ( ξ ) d ξ = ∫ s u p p ( f ) f | s u p p ( f ) ( ξ ) d ξ {\displaystyle \int _{X}f(\xi )\,d\xi =\int _{\mathrm {supp} (f)}f|_{\mathrm {supp} (f)}(\xi )\,d\xi } が成り立つ。また、一点集合の指示関数は（適当な条件下で）ディラックのデルタ関数をあらわすと考えられる。実際、一点集合 {x} に対して、その可測集合からなる近傍系 Nx でその共通部分が {x} となるものが存在するとき（たとえば {x} 自身が可測となるとき） inf N ∈ N x χ N = χ { x } , {\displaystyle \inf _{N\in \mathbf {N} _{x}}\chi _{N}=\chi _{\{x\}},} ∫ X χ { x } ( ξ ) f ( ξ ) d ξ := inf N ∈ N x ∫ X χ N ( ξ ) f ( ξ ) d ξ = f ( x ) v o l ( { x } ) {\displaystyle \int _{X}\chi _{\{x\}}(\xi )f(\xi )\,d\xi :=\inf _{N\in \mathbf {N} _{x}}\int _{X}\chi _{N}(\xi )f(\xi )\,d\xi =f(x)\mathrm {vol} (\{x\})} が成立する。χ{x} はしばしば χx と略記される。
※この「積分」の解説は、「指示関数」の解説の一部です。
「積分」を含む「指示関数」の記事については、「指示関数」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/21 03:14 UTC 版)
Wiener は The Fourier Integral and Certain of its Applications において空間充填曲線は高次元でのルベーグ積分を1次元のルベーグ積分に帰着するのに使えることを指摘した。
※この「積分」の解説は、「空間充填曲線」の解説の一部です。
「積分」を含む「空間充填曲線」の記事については、「空間充填曲線」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 06:18 UTC 版)
超実数の体系において定積分を定義する一つの方法は、dx を無限小、n を超準自然数 として a, a + dx, a + 2 dx, …, a + n dx で定義される超準有限（英語版）格子上でとった無限和の標準部をとることである。このとき、積分の下の限界は a, 上の限界は b = a + n dx である。
※この「積分」の解説は、「超実数」の解説の一部です。
「積分」を含む「超実数」の記事については、「超実数」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 01:10 UTC 版)
零函数の定積分は、積分の限界の取り方に依らず常に零である。すなわち ∫ a b ϕ ( x ) d x = 0 ( ∀ a , b ∈ R ¯ = R ∪ { − ∞ , ∞ } ) {\displaystyle \int _{a}^{b}\phi (x)\,dx=0\quad (\forall a,b\in {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \})} が成り立つ。 したがって、零函数は実数直線全体で可積分な唯一の多項式函数である。零函数の原始函数は、不定積分の積分定数は任意にとれるから、零函数自身も含めた任意の定数函数によって与えられる。
※この「積分」の解説は、「零写像」の解説の一部です。
「積分」を含む「零写像」の記事については、「零写像」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/07 06:34 UTC 版)
体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。 V = ∫ 0 h π ( r 1 − r 2 h x + r 2 ) 2 d x = π h 3 ( r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 ) . {\displaystyle V=\int _{0}^{h}\pi \left({\frac {r_{1}-r_{2}}{h}}x+r_{2}\right)^{2}\,dx={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}).} または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 3 ( r 1 + r 2 ) {\displaystyle {\frac {{r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}}{3(r_{1}+r_{2})}}} であることに注意してパップス＝ギュルダンの定理を用いると、 V = 2 π r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 3 ( r 1 + r 2 ) × r 1 + r 2 2 h = π h 3 ( r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 ) {\displaystyle V=2\pi {\frac {{r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}}{3(r_{1}+r_{2})}}\times {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}h={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2})} となる。
※この「積分」の解説は、「円錐台」の解説の一部です。
「積分」を含む「円錐台」の記事については、「円錐台」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/09 03:01 UTC 版)
不定積分 ∫ d x a x 2 + b x + c {\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}} の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分 ∫ d x x 2 − a 2 = 1 2 a ln | x − a x + a | + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C} または ∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctan x a + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C} に帰着できる。
※この「積分」の解説は、「平方完成」の解説の一部です。
「積分」を含む「平方完成」の記事については、「平方完成」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/30 23:37 UTC 版)
詳細は「数値積分」を参照 数値積分（数値的求積法）では、与えられた領域に於ける定積分の値を求める。一般的な手法としては、ニュートン・コーツ系の公式（中点法やシンプソンの公式）やガウスの求積法、二重指数関数型数値積分公式などがある。これらは分割統治戦略に基づいて、大きな領域についての積分を小さな領域の積分に分割して値を求める。これらの手法は領域が高次元であると計算の手間が膨大となり適用が困難になるので、高次元の場合には計算量が領域の空間次元にあまり依存しないモンテカルロ法や準モンテカルロ法などのサンプリング平均により定積分の値を推定する手法がよく用いられる。
※この「積分」の解説は、「数値解析」の解説の一部です。
「積分」を含む「数値解析」の記事については、「数値解析」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/31 20:00 UTC 版)
次の式を計算する。 ∫ cos ( x a ) d x {\displaystyle \int \cos \left({\frac {x}{a}}\right)dx} . int(cos(x/a), x); 出力: a sin ( x a ) {\displaystyle a\sin \left({\frac {x}{a}}\right)}
※この「積分」の解説は、「Maple」の解説の一部です。
「積分」を含む「Maple」の記事については、「Maple」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/15 03:58 UTC 版)
デカルト座標の原点における半径 r の円の方程式 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} に対し、四分円 y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} ( 0 ≤ x ≤ r ) {\displaystyle (0\leq x\leq r)} の面積 S 4 {\displaystyle S_{4}} を考え、結果を4倍すれば円の面積が求まる。
※この「積分」の解説は、「円の面積」の解説の一部です。
「積分」を含む「円の面積」の記事については、「円の面積」の概要を参照ください。
積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/18 16:04 UTC 版)
局所コンパクト空間上の測度論を関数解析の観点から完全に構築するには、測度（積分）をコンパクト台付き連続関数から拡張する必要がある。これにはいくつかの段階を踏んで、任意の実または複素数値関数に対して拡張を行う。 下半連続正値（実数値）関数 g の上積分 μ*(g) を、h ≤ g なるコンパクト台付き連続関数 h に対する正の数 μ(h) の上限（無限大となる場合を許す）として定義する。 任意の正値（実数値）関数 f に対する上積分 μ*(f) を g ≥ f なる下半連続関数 g の上積分 μ*(g) の下限として定義する。 ベクトル空間 F = F(X, μ) を X 上の関数 f でその絶対値の上積分 μ*(|f|) が有限となるようなもの全体の成す空間として定義する。絶対値の上積分は F 上の半ノルムを定め、その半ノルムの誘導する位相に関して F は完備空間になる。 可積分関数全体の成す空間 L1(X, μ) をコンパクト台付き連続関数全体の成す空間の F の中での閉包として定義する。 可積分関数の空間 L1(X, μ) に属する関数の積分を（μ が L1(X, μ) の位相に関して連続であることを確かめた後）連続性による拡張と定義する。 集合の指示関数の積分が存在すれば、それをその集合の測度と定める。 このような段階を踏んで得られた理論が、ラドン測度を X 上の各ボレル集合に数を割り当てる関数として定義することから始めて得られる理論と一致することを確認することができる。 R 上のルベーグ測度をこのように関数解析的な構成によって導入する方法がいくつかある。一つは、ダニエル積分やコンパクト台付き連続関数に対するリーマン積分（あるいは初等的な積分の定義に対するどのような積分についても）のような初等的な積分に依拠するものである。それら初等的な積分によって定義される、先ほど述べた意味での測度は、ちょうどルベーグ積分になる。いま一つは、リーマン積分やダニエル積分やそれに類する理論に依ることなしに、ハール測度の一般論をまず展開し、R 上のハール測度 λ で正規化条件 λ([0, 1]) = 1 を満足するものとしてルベーグ測度を定めればよい。
※この「積分」の解説は、「ラドン測度」の解説の一部です。
「積分」を含む「ラドン測度」の記事については、「ラドン測度」の概要を参照ください。
積分
「積分」の例文・使い方・用例・文例
- 積分学
- お返しに微積分のノートを貸してあげるわ。
- この微積分問題の答えを出しなさい.
- 彼は代数機何もろくに知らないまして微積分をやだ
- 積分法
- その積分を算出する
- 微積分学の実用化
- 関数の積分を求める計算法において用いられる演算
- 代数と微積分を使って方法論を使用する、または方法論を受ける
- それが微積分学を含んでいるため、我々は項の終わりにそれを与えた
- 微積分学の問題の解決に近似するためのアルゴリズムを研究する数学の部門
- 極限値、および関数の微分と積分に関する数学の分野
- 微積分と限界値理論に関する数学の分野
- 微分係数と差の概念によって独立変数（または変数）の変化に関して関数の変動に対処する微積分学の部分
- 微分方程式や測定範囲、または体積における方程式の解での積分やその応用を処理する微積分学の一部
- 数学的な積分の結果
- Cがあらゆる実数であり、F(x)がf(x)の積分である関数の組F(x)+C
- 定積分内の関数の積分
- 定積分の最大値と最小値の計算
- 宇宙が独立したモナドから成ることについて考え、ニュートンとは無関係に微積分学のシステムを考案したドイツの哲学者でと数学者（1646年−1716年）
積分と同じ種類の言葉
品詞の分類
- >> 「積分」を含む用語の索引
- 積分のページへのリンク
