せき【積】
読み方：せき
［音］セキ（漢） ［訓］つむ つもる
１ つみ重ねる。つみ重なる。「積載・積雪・積善・積年・積弊／山積・集積・堆積(たいせき)・蓄積・沈積・累積」
２ 不平などの感情がたまる。「積怨(せきえん)／鬱積(うっせき)」
［名のり］あつ・かず・かつ・さ・さね・つね・つみ・もち・もり
せき【積】
積
積
積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/30 22:40 UTC 版)
α, β を順序数とする。整列集合 (A, ※この「積」の解説は、「順序数」の解説の一部です。
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積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/11 09:27 UTC 版)
ρ, σ を順序型とする。全順序集合 (A, ※この「積」の解説は、「順序型」の解説の一部です。
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積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/11 04:02 UTC 版)
「ムーア・ペンローズ逆行列」の記事における「積」の解説
A ∈ k m × n , B ∈ k n × p {\displaystyle A\in \mathbb {k} ^{m\times n},B\in \mathbb {k} ^{n\times p}} とする。すると、以下は同値になる。 ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}} A + A B B ∗ A ∗ = B B ∗ A ∗ , B B + A ∗ A B = A ∗ A B . {\textstyle {\begin{aligned}A^{+}ABB^{*}A^{*}&=BB^{*}A^{*},\\BB^{+}A^{*}AB&=A^{*}AB.\end{aligned}}} ( A + A B B ∗ ) ∗ = A + A B B ∗ , ( A ∗ A B B + ) ∗ = A ∗ A B B + . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(A^{+}ABB^{*}\right)^{*}&=A^{+}ABB^{*},\\\left(A^{*}ABB^{+}\right)^{*}&=A^{*}ABB^{+}.\end{aligned}}} A + A B B ∗ A ∗ A B B + = B B ∗ A ∗ A {\displaystyle A^{+}ABB^{*}A^{*}ABB^{+}=BB^{*}A^{*}A} A + A B = B ( A B ) + A B , B B + A ∗ = A ∗ A B ( A B ) + . {\displaystyle {\begin{aligned}A^{+}AB&=B(AB)^{+}AB,\\BB^{+}A^{*}&=A^{*}AB(AB)^{+}.\end{aligned}}} 以下は ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}} の十分条件である（このうちのいずれか一つを満たせば十分である）： A が正規直交列を持つ（このとき A ∗ A = A + A = I n {\displaystyle A^{*}A=A^{+}A=I_{n}} ） B が正規直交行を持つ（このとき B B ∗ = B B + = I n {\displaystyle BB^{*}=BB^{+}=I_{n}} ） A の列が線型独立であり（ A + A = I n {\displaystyle A^{+}A=I_{n}} ）、かつ B の行が線型独立である（ B B + = I n {\displaystyle BB^{+}=I_{n}} ） B = A ∗ {\displaystyle B=A^{*}} B = A + {\displaystyle B=A^{+}} 以下は ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}} の必要条件である： ( A + A ) ( B B + ) = ( B B + ) ( A + A ) {\displaystyle (A^{+}A)(BB^{+})=(BB^{+})(A^{+}A)} 最後の十分条件から以下の式が導かれる。 ( A A ∗ ) + = A + ∗ A + , ( A ∗ A ) + = A + A + ∗ . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(AA^{*}\right)^{+}&=A^{+*}A^{+},\\\left(A^{*}A\right)^{+}&=A^{+}A^{+*}.\end{aligned}}} 注意：等式 ( A B ) + = B + A + {\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}} は一般には成り立たない。反例は以下の通り： ( ( 1 1 0 0 ) ( 0 0 1 1 ) ) + = ( 1 1 0 0 ) + = ( 1 2 0 1 2 0 ) ≠ ( 1 4 0 1 4 0 ) = ( 0 1 2 0 1 2 ) ( 1 2 0 1 2 0 ) = ( 0 0 1 1 ) + ( 1 1 0 0 ) + {\displaystyle {\Biggl (}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}{\Biggr )}^{+}={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}={\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}\quad \neq \quad {\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{4}}&0\\{\tfrac {1}{4}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\tfrac {1}{2}}\\0&{\tfrac {1}{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\tfrac {1}{2}}&0\\{\tfrac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}^{+}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}^{+}}
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積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/12 10:21 UTC 版)
位相幾何学や微分幾何学における他のコホモロジー論（たとえば特異コホモロジーやド・ラーム・コホモロジー）などと同様に群のコホモロジーも積構造を持っている。どんな G 加群 M と N に対してもカップ積（英: cup product）と呼ばれる自然な写像 H n ( G , N ) ⊗ H m ( G , M ) → H n + m ( G , M ⊗ N ) {\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)} がある。これは ⨁ n ≥ 0 H n ( G , R ) {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{n}(G,R)} に次数つき反可換環の構造を与える。ここで R は Z や Z/p などの環である。有限群 G に対して、このコホモロジー環の標数 p における偶数次部分 ⨁ n ≥ 0 H 2 n ( G , Z / p ) {\displaystyle \textstyle \bigoplus _{n\geq 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)} は G の群構造に関する多くの情報を持っている。たとえばこの環のクルル次元はアーベル部分群 (Z/p)r の最大ランクに等しい。 G を位数2の離散群とする。実射影空間 P∞(R) は群 G の分類空間である。k = F2 を二元体とする。このとき H ∗ ( G , k ) ≅ k [ x ] {\displaystyle H^{*}(G,k)\cong k[x]} となる。これは P∞(R) の胞体コホモロジー環だからである。
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積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/29 01:43 UTC 版)
同じ体の上の次元 m のアーベル多様体 A と次数 n のアーベル多様体 B の積は、次元 m+n のアーベル多様体である。より低い次元のアーベル多様体の積とはならないアーベル多様体に同種なアーベル多様体を単純(simple)であるという。すべてのアーベル多様体は単純アーベル多様体の積に同種である。
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