積に対するヤングの不等式

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積に対するヤングの不等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/05 22:55 UTC 版)

数学における（積に対する）ヤングの不等式（ヤングのふとうしき、英: Young's inequality）は二つの数の積を評価する不等式である^[1]。名称は、ウィリアム・ヘンリー・ヤング（英語版）に因む。ヤングの畳み込み不等式と混同すべきではない。

ヤングの不等式はヘルダーの不等式の証明に利用できる。二つの項の積がヤングの不等式によりそれらの項の冪を適当にスケールしたものの和として評価できることから、ヤングの不等式は偏微分方程式論における非線形項を評価するのにも広く用いられる。

標準的な主張

ヤングの不等式の標準的な主張では、a, b は非負実数とし、p, q は 1 以上の実数で 1/p + 1/q = 1 を満たすもの（ヘルダーの意味での「共軛指数」）とするとき、

$${\displaystyle ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}}$$

a, b の作る矩形領域の面積は f の下にある面積(赤)とf⁻¹の下にある面積(黄)の和を超えることはない。

ある種のヤングの不等式^[4][5]はf を閉区間 [0, c] (c > 0) で狭義単調増大な実数値連続関数で f(0) = 0 となるものを用いて記述される。f⁻¹ は f の逆写像とすれば、任意の a ∈ [0, c] および b ∈ [0, f(c)] に対し、

$${\displaystyle ab\leq \int _{0}^{a}f(x)\,dx+\int _{0}^{b}f^{-1}(x)\,dx}$$