ヘルダーの不等式

ウィキペディア

ヘルダーの不等式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/19 06:36 UTC 版)

解析学におけるヘルダーの不等式（ヘルダーのふとうしき、英: Hölder's inequality）とは、数列や可測関数の間に成り立つ最も基本的な不等式の一つであり、測度空間上のL^p空間の構造の解析などにしばしば用いられる。オットー・ヘルダーに因んでこの名前が付いている。

歴史的には1888年にレオナルド・J・ロジャーズによって発見された。さらにその翌年に、ロジャースに触発されたヘルダーによって、イェンセンの不等式の紹介と凸関数と凹関数の発展に関する書籍内で別の証明がもたらされた。

積分形のヘルダーの不等式

(Ω, μ) を測度空間とし、1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞ を 1/p + 1/q = 1 なる実数とする。（p = 1 のとき q = ∞ とする。）Ω 上の可測関数 f, g について、

$\|fg\|_{L^{1}(\Omega ,\mu )}\leq \|f\|_{L^{p}(\Omega ,\mu )}\|g\|_{L^{q}(\Omega ,\mu )}.$