ヘルダーの不等式の特別な形
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:35 UTC 版)
「ヘルダーの不等式」の記事における「ヘルダーの不等式の特別な形」の解説
測度空間 (Ω, μ) が可算集合とその上の数え上げ測度によって与えられるとき、Ω 上の可測関数とはΩの元によって添字づけられた数列のことになり、Lpノルムは 数列の lp ノルムのことになる。1 ≤ p, q ≤ ∞ を共役指数の対、Ω = N とするとヘルダーの不等式は ∑ k = 1 ∞ | a k b k | ≤ ( ∑ k = 1 ∞ | a k | p ) 1 / p ( ∑ k = 1 ∞ | b k | q ) 1 / q {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}} の形に表される。また 0 < p < 1 のときは、逆向きの不等式が成り立つ。 また、bk = 1 とすれば、 ( ∑ k = 1 n | a k | ) p ≤ n p − 1 ∑ k = 1 n | a k | p {\displaystyle {\left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|\right)}^{p}\leq n^{p-1}\sum _{k=1}^{n}|{a_{k}}|^{p}} を得ることができる。例えば n = 2 のときは、正の実数 a,b に対して ( a + b ) p ≤ 2 p − 1 ( a p + b p ) {\displaystyle (a+b)^{p}\leq 2^{p-1}(a^{p}+b^{p})} となる。またこれらは 0 < p < 1 のときには同様に逆向きの不等式が成り立つ。 ∑ i = 1 n 1 p i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{p_{i}}}=1} のとき、 ∑ k = 1 ∞ | ∏ i = 1 n a k i | ≤ ∏ i = 1 n ( ∑ k = 1 ∞ | a k i | p i ) 1 / p i {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left|\prod _{i=1}^{n}a_{ki}\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{\infty }|a_{ki}|^{p_{i}}\right)^{1/{p_{i}}}} が成り立つ。ただし、各 p i {\displaystyle p_{i}} は正とする。 確率空間 (Ω, Σ, μ) 上の期待値を与える作用素を E とすると、確率変数 X, Y についてのヘルダーの不等式は E | X Y | ≤ ( E | X | p ) 1 p ( E | Y | p ) 1 p {\displaystyle E|XY|\leq (E|X|^{p})^{\frac {1}{p}}(E|Y|^{p})^{\frac {1}{p}}} となる。この特別な場合として、0 < r < s なる数について E | X | r ≤ ( E | X | s ) r s {\displaystyle E|X|^{r}\leq (E|X|^{s})^{\frac {r}{s}}} が成り立つ。これは p = s / r と確率変数 |X|r と 1Ω について上の式を適用することによって得られる。
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