かさん‐しゅうごう〔‐シフガフ〕【可算集合】
可算集合
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可算集合（かさんしゅうごう、英語: countable set または denumerable set）または可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい[1]。
有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある[1]。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合 (countably infinite set) と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算 (at most countable) の集合と呼ぶ[2][3]。可算でない無限集合を非可算集合 (uncountable set) という[4]。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。
定義
可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである[1]。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいう[2][3]。
また、高々可算な集合とは、N の濃度以下の濃度を持つ集合のことである。すなわち、集合 S が高々可算であるとは、S から N へ単射が存在することをいう。これは、N から S へ全射が存在することと同値である。
慣例では、可算集合の濃度を 
可算集合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/29 08:37 UTC 版)
詳細は「可算集合」を参照 自然数全体からなる集合の濃度を可算無限濃度または単に可算濃度という（古くは可付番濃度とも呼ばれた）。通常、 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} （アレフ・ゼロ）あるいは a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} と表記される。 ℵ {\displaystyle \aleph } はヘブライ文字のアレフである。濃度が可算無限になる集合を可算無限集合または単に可算集合（英: countable set）という。たとえば、整数全体からなる集合、有理数全体からなる集合はいずれも可算無限集合である。可算無限以下であるような濃度を高々可算な濃度または単に可算濃度という。 可算無限濃度には以下のような性質がある。 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} は極小な無限濃度である。すなわち、 κ {\displaystyle \kappa } が ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} より小さい濃度ならば、 κ {\displaystyle \kappa } は有限濃度（すなわち自然数）である。 選択公理を仮定すると、 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} は最小な無限濃度である。すなわち、全ての無限濃度 κ {\displaystyle \kappa } に対して、 ℵ 0 ≤ κ {\displaystyle \aleph _{0}\leq \kappa } が成り立つ。
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