可算無限次元における p-ノルム

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可算無限次元における p-ノルム

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/12/11 09:20 UTC 版)

「Lp空間」の記事における「可算無限次元における p-ノルム」の解説

詳細は「数列空間」を参照 p-ノルムは、無限個の成分を含むベクトルに対して拡張することが出来、このことが空間 ℓ p {\textstyle \ell ^{p}} を導く。この空間は特別な場合として、次を含む： ℓ 1 {\textstyle \ell ^{1}} : 級数が絶対収束するような数列の空間； ℓ 2 {\textstyle \ell ^{2}} : 二乗総和可能な数列の空間で、ヒルベルト空間でもある； ℓ ∞ {\textstyle \ell ^{\infty }} : 有界数列の空間。 数列空間は、加法およびスカラー倍を座標ごとに適用することで、自然なベクトル空間を構成する。具体的に、 x = ( x 1 , x 2 , … , x n , x n + 1 , … ) = ( x n ) {\textstyle x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},x_{n+1},\dotsc )=(x_{n})} を実数あるいは複素数の無限数列としたとき、ベクトルの和は ( x n ) + ( y n ) := ( x n + y n ) ,   i.e.,  ( x 1 , x 2 , … , x n , x n + 1 , … ) + ( y 1 , y 2 , … , y n , y n + 1 , … ) := ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , … , x n + y n , x n + 1 + y n + 1 , … ) で定義され、スカラー倍は λ ( x n ) := ( λ x n ) ,  i.e.,  λ ( x 1 , x 2 , … , x n , x n + 1 , … ) := ( λ x 1 , λ x 2 , … , λ x n , λ x n + 1 , … ) で定義される。 p-ノルムを ‖ x ‖ p := ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p + | x n + 1 | p + ⋯ ) 1 / p で定義する。 ここで、右辺の級数は必ずしも収束するわけではないという問題が生じる。例えば、1 のみからなる列 (1, 1, 1, …) の p-ノルム（長さ）はすべての有限な p ≥ 1 に対して無限大となる。このことを踏まえて、空間 ℓp は p-ノルムが有限であるような、実数あるいは複素数の無限数列すべてからなる集合として定義される。 p が増加するにつれて、集合 ℓp は大きくなることが確かめられる。例えば、数列 ( 1 , 1 2 , … , 1 n , 1 n + 1 , … ) は ℓ1 には含まれないが、p > 1 であるような ℓp には含まれる。なぜならば、級数 1 p + 1 2 p + ⋯ + 1 n p + 1 ( n + 1 ) p + ⋯ は p = 1 （調和級数）に対しては発散するが、p > 1 に対しては収束するからである。 ∞-ノルムは上限を使うことで次のように定義できる：   ‖ x ‖ ∞ := sup { | x 1 | , | x 2 | , … , | x n | , | x n + 1 | , … } . そして対応する有界数列の空間 ℓ∞ も定義できる。によると、   ‖ x ‖ ∞ = lim p → ∞ ‖ x ‖ p は、右辺が有限であるか左辺が無限である場合に成立することが分かる。以上より、1 ≤ p ≤ ∞ に対して ℓp 空間を考えることが出来る。 ℓp について定義される p-ノルムは実際にノルムであり、このノルムの下で ℓp はバナッハ空間となる。より完全に一般的な Lp 空間は、後述のように、ベクトルが有限あるいは可算個の成分を含む場合のみならず、「任意に多くの成分」として無限個の成分を含むような場合、すなわち函数である場合を考えることで得られる。そこでは p-ノルムを定義する上で、和の代わりに積分が用いられる。