可算超準モデルの構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 08:27 UTC 版)
「算術の超準モデル」の記事における「可算超準モデルの構造」の解説
超積モデルは非可算となることが知られている。このことを見るには N {\displaystyle \mathbb {N} } の無限直積から超積モデルへの単射を構成すればよい。他方でレーヴェンハイム-スコーレムの定理により、算術の可算な超準モデルが存在しなければならない。構成法の一つとしてヘンキン構成を用いた方法がある。 ・定理 算術の超準モデルの順序構造は、ある端点を持たない稠密全順序集合 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} を用いて、 N ⊕ Z × Q {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}} と表せる。 特に、可算超準モデルの場合、上の表示において、 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は可算となるので、端点を持たない稠密全順序の理論（DLO）の可算範疇性より、 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は Q {\displaystyle \mathbb {Q} } と同型となる。したがって可算超準モデルの順序構造は N ⊕ Z × Q {\displaystyle \mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times \mathbb {Q} } と表せる。 ・証明 いま M {\displaystyle M} を算術の超準モデルとする。 M {\displaystyle M} は N {\displaystyle \mathbb {N} } を含んでいるものと見做せる。ペアノ算術では、各自然数 n {\displaystyle n} に対して、 ∀ x ( ⋀ k = 0 n ( x ≠ n ) → n < x ) {\displaystyle \forall x\left(\bigwedge _{k=0}^{n}(x\neq n)\to n<x\right)} が証明可能である。したがって M {\displaystyle M} に於いて真である。このことから M {\displaystyle M} は N {\displaystyle \mathbb {N} } の後ろに無限大元からなる部分を繋げたような順序構造をしていることが分かる。すなわち、順序集合として M = N ⊕ ( M ∖ N ) {\displaystyle M=\mathbb {N} \oplus (M\setminus \mathbb {N} )} が成り立つ。 次に M ′ = M ∖ N {\displaystyle M'=M\setminus \mathbb {N} } の順序構造を調べる。いま M ′ {\displaystyle M'} 上の二項関係 x E y ⟺ x − y ∈ Z {\displaystyle xEy\iff x-y\in \mathbb {Z} } （つまりある自然数 n {\displaystyle n} に対して x = y + n {\displaystyle x=y+n} または y = x + n {\displaystyle y=x+n} ） を考える。これは同値関係となる。各々の同値類は [ x ] = { x + n | n ∈ Z } {\displaystyle \left[x\right]=\{x+n|n\in \mathbb {Z} \}} の形をしていることが分かる。商集合 Q = M ′ / E {\displaystyle {\mathcal {Q}}=M'/E} 上の二項関係を [ x ] ≪ [ y ] ⟺ x < y and y − x ∈ M ′ {\displaystyle \left[x\right]\ll \left[y\right]\iff x<y{\text{ and }}y-x\in M'} で定めると、これはwell-definedであって、全順序となることが分かる。このとき、 M ′ {\displaystyle M'} の2元 u , v {\displaystyle u,v} について、 u < v {\displaystyle u<v} であることと、次の条件は同値である： [ u ] = [ v ] {\displaystyle \left[u\right]=\left[v\right]} であって、 u = x + n , v = x + m {\displaystyle u=x+n,v=x+m} と書いたとき n < m {\displaystyle n<m} ；もしくは [ u ] ≪ [ v ] {\displaystyle \left[u\right]\ll \left[v\right]} したがって M ′ {\displaystyle M'} の順序は Z × Q {\displaystyle \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}} 上の逆辞書式順序となっている。 最後に Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} の順序構造を調べる。任意の x ∈ M ′ {\displaystyle x\in M'} に対して [ x ] ≪ [ 2 x ] {\displaystyle \left[x\right]\ll \left[2x\right]} が成り立つ。任意の元は偶数または奇数であることはペアノ算術で証明できる。よって x {\displaystyle x} はある y ∈ M {\displaystyle y\in M} によって x = 2 y , 2 y + 1 {\displaystyle x=2y,2y+1} のいずれかの形に表せる。またこのとき y ∈ M ′ {\displaystyle y\in M'} であり、 [ y ] ≪ [ x ] {\displaystyle \left[y\right]\ll \left[x\right]} が成り立つ。したがって Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は端点（最大元と最小元）を持たない。次に x , y ∈ M ′ {\displaystyle x,y\in M'} について [ x ] ≪ [ y ] {\displaystyle \left[x\right]\ll \left[y\right]} と仮定する。 x + y {\displaystyle x+y} は偶数または奇数だから、ある z ∈ M {\displaystyle z\in M} によって x + y = 2 z , 2 z + 1 {\displaystyle x+y=2z,2z+1} のいずれかの形に表せる。いずれにしても z ∈ M ′ {\displaystyle z\in M'} であり、 [ x ] ≪ [ z ] ≪ [ y ] {\displaystyle \left[x\right]\ll \left[z\right]\ll \left[y\right]} が成り立つ。すなわち Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は稠密である。 以上より、 M = N ⊕ Z × Q {\displaystyle M=\mathbb {N} \oplus \mathbb {Z} \times {\mathcal {Q}}} であり、 Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} は端点を持たない稠密全順序集合である。
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