同値類
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数学において，ある集合 S の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 S を同値類（どうちるい，英: equivalence class）たちに自然に分割できる．これらの同値類は，元 a と b が同じ同値類に属するのは a と b が同値であるとき，かつそのときに限るものとして構成される．
- ^ Avelsgaard 1989, p. 127.
- ^ a b Devlin 2004, p. 123.
- ^ Maddox 2002, pp. 77–78.
- ^ Devlin 2004, p. 122.
- ^ Wolf 1998, p. 178.
- ^ Maddox 2002, p. 74, Thm. 2.5.15.
- ^ Avelsgaard 1989, p. 132, Thm. 3.16.
- 1 同値類とは
- 2 同値類の概要
- 3 性質
- 4 グラフによる表現
- 5 関連項目
商集合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:04 UTC 版)
集合 S の同値関係 ∼ から定まる同値類すべてを集めた集合のことを、集合S を同値関係 ∼ で割った集合、あるいは S の ∼ による商集合であるといい、 S / ∼ := { [ x ] ∣ x ∈ S } {\displaystyle S/{\sim }:=\{[x]\mid x\in S\}} と表す。集合 S の元に対してそれが属する同値類を対応させることにより、Sから商集合への自然な全射 π : S ↠ S / ∼ ; x ↦ [ x ] {\displaystyle \pi \colon S\twoheadrightarrow S/{\sim };\ x\mapsto [x]} が与えられる。これを同値関係 ∼ に付随する商写像や標準射影という。 定理 (標準射影の普遍性) 写像 f: X → B が a ~ b ならば f(a) = f(b) を満たすならば、商集合からの写像 g: X/~ → B で f = g ∘ π（π は標準射影）を満たすものが一意に存在する。さらに、f が全射かつ a ~ b ⇔ f(a) = f(b) を満たすとき、g は全単射となる。 また、S の相異なるすべての同値類から代表元を1つずつ集めて作った S の部分集合のことを、集合 S における同値関係 ∼ の（あるいは商集合 S/∼ の）完全代表系 (complete system of representatives) と呼ぶ。つまり、集合S の部分集合 A が同値関係 ∼ についての完全代表系であるとは、包含写像と標準射影の合成 A ↪ S ↠ S/∼; a ↦ [a] が全単射となることである。
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