商集合の例とは? わかりやすく解説

商集合の例

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/11/28 14:04 UTC 版)

同値関係」の記事における「商集合の例」の解説

合同関係」も参照 整数全体のなす集合 Z に、a と b の差 a − b が 3 の倍数であるときまたそのとき限って a ≡ b という関係 ≡ を決めると、これは同値関係になる。 この関係によって集合 Z が3つの同値類(この場合剰余類 とも呼ばれる)に分割されるそれぞれの同値類は 3 で割り切れるもの全体 [0]、1 余るもの全体 [1]、2 余るもの全体 [2] に対応している。 この商集合は普通 Z/3Z と書かれて、自然に演算が定義できて、加法に関するアーベル群、さらに乗法をいれて可換環になる(剰余類環)。また p が素数のとき Z/pZ は体(有限体)になる。 同様の例として、商線型空間商ベクトル空間)、剰余群剰余類群、商群)、剰余環商環)、商位相空間などはそれぞれ適当な同値関係による商集合(に適切な構造付与したもの)として定義される

※この「商集合の例」の解説は、「同値関係」の解説の一部です。
「商集合の例」を含む「同値関係」の記事については、「同値関係」の概要を参照ください。

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