全単射

デジタル大辞泉

ぜん‐たんしゃ【全単射】

読み方：ぜんたんしゃ

全射であり、単射でもある写像。集合Mから集合Nへの写像で、値域が集合Nと一致し、かつ、集合Mの異なる二つの要素に集合Nの異なる要素が対応するもの。

ウィキペディア

全単射

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/12 04:17 UTC 版)

数学において、全単射 (ぜんたんしゃ) あるいは双射 (そうしゃ) (bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が挙げられる。

全単射であることを1対1上への写像［上への1対1写像］ (one-to-one onto mapping) あるいは1対1対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。

写像 f が全単射のとき、f は可逆であるともいう。

定義

写像 f: A → B に対し、2つの条件

1. 全射性: f(A) = B
2. 単射性: 任意の A の元 a₁, a₂ について、f(a₁) = f(a₂) ならば a₁ = a₂

がともに成り立つとき、写像 f は全単射 (bijective) であるという。この用語はブルバキによる。

f: A → B が全単射であることは、

$\forall \ b\in B,\,\exists \ !\ a\in A{\text{ s.t. }}b=f(a)$
全射でも単射でもない
単射であり全射でない
全射であり単射でない
全単射

例

• f: R → (0, ∞); f(x) := e^x は全単射である。

• f: (0, ∞) → R; f(x) := log x は全単射である。

• f: (−π/2, π/2) → R; f(x) := tan x は全単射である。

存在の例

• 冪集合 ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ カテゴリ

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全単射 (bijection)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/10 03:31 UTC 版)

「二項関係」の記事における「全単射 (bijection)」の解説

一対一かつ対応となるような関係は、写像であり、全単射または双射と呼ばれる。

Wiktionary日本語版（日本語カテゴリ）

全単射

出典:『Wiktionary』 (2019/03/16 02:58 UTC 版)

名詞

全単射（ぜんたんしゃ）

1. （数学）全射かつ単射である写像。双射、一対一対応ともいう。始域の全ての要素が終域の要素と重複することなく対応付けされており、終域の全ての要素が始域の要素から対応付けされている写像。写像 f: A → B が全単射であれば、B の任意の要素 b ∈ B に対して f(a) = b を満たす a ∈ A が唯一存在する。

関連語

• 同相写像

翻訳

• 英語:bijection, bijective mapping, one-to-one correspondence