可算推移モデルとジェネリックフィルター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 06:35 UTC 版)
「強制法」の記事における「可算推移モデルとジェネリックフィルター」の解説
強制法の鍵となるステップはZFCの宇宙 V に対して、V の要素でない適切な G を見つけることである。結果としては G によるP-名前の解釈全てによるクラスが元々の V の拡大になるZFCのモデルになるようにする。 V で作業する代わりに、可算推移モデル M と (P,≤,1) ∈ Mを考える。ここで言うモデルというのはZFCの十分多くの有限個の公理を満たすものを言う。推移性というのは x ∈ y ∈ M ならば x ∈ Mとなることである。 モストフスキ崩壊補題によると所属関係は整礎的であると仮定してよい。推移性は所属関係や初等的な概念を直観的に扱いやすくする。可算性はレーヴェンハイム-スコーレムの定理から得ているものである。 M は集合なので M に属さない集合が存在する。それはラッセルのパラドックスから分かる。強制に際して取り M に付け加える適切な G はPのジェネリックフィルターである。フィルター条件とは G⊆P であって、 1 ∈ G ; p ≥ q ∈ G ならば p ∈ G ; p,q ∈ G ならば ∃r ∈ G, r ≤ p かつ r ≤ q ; を満たすこと、G が ジェネリック であるとは D ∈ M が Pの稠密部分集合 (すなわち p ∈ P ならば ∃q ∈ D, q ≤ p である)ならば G∩D ≠ 0 となることである。 ジェネリックフィルター G の存在性はラショーヴァ＝シコルスキの補題から分かる。さらに、以下のことが分かる: 条件p ∈ Pが与えられたとする、このとき p ∈ G であるジェネリックフィルター G を見つけられる。splitting conditionと G がフィルターであることから P\G は稠密である。もし G が M の要素なら P\G も M の元となるから G は Mの元にはならない。
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