可算個の擬距離により定まる場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「可算個の擬距離により定まる場合」の解説
可算個の擬距離の集合から定まる一様構造は擬距離化可能である： 定理 ― Xを集合とし、 D = { d i ∣ i ∈ N } {\displaystyle D=\{d_{i}\mid i\in \mathbb {N} \}} を集合X上の可算個の擬距離の集合とし、 U D {\displaystyle {\mathcal {U}}_{D}} をDにより定まる一様構造とする。このとき、X上の擬距離を d ( x , y ) = ∑ i ∈ N 2 − i arctan ( d i ( x , y ) ) {\displaystyle d(x,y)=\sum _{i\in \mathbb {N} }2^{-i}\arctan(d_{i}(x,y))} と定義すると、 U D {\displaystyle {\mathcal {U}}_{D}} はdにより定まる一様構造と一致する 上記の定理は特に可算個の擬距離空間の直積を考える場合に重要である。直積 P = ∏ i ∈ N X i {\displaystyle P=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i}} には直積一様構造が定まるが、上の定理からこの一様構造が擬距離から定まる事がわかる。実際、Xi上の擬距離diとXiへの射影πiの合成によりP上の擬距離 d i ′ ( x , y ) := d i ( π i ( x ) , π i ( x ) ) {\displaystyle d'_{i}(x,y):=d_{i}(\pi _{i}(x),\pi _{i}(x))} を定義して、これら可算個の擬距離から上の定理のように1つの擬距離dを定めると、P上の直積一様構造がdの定める一様構造と一致することがわかる。
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