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一様空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/02 03:01 UTC 版)

一様空間（いちようくうかん、英: uniform space）とは、一様構造という構造を備えた集合である。一様構造は擬距離構造と位相構造の中間の強さを持ち、位相構造だけでは定義できないコーシー列、完備性、一様連続性、一様有界性、全有界性などが定義できる。

脚注

出典

^ ^a ^b ^c ^d “固有な作用の一様連続性について”. pp. 5-6. 2021年4月7日閲覧。
^ ^a ^b #Kelly p.176.
^ #EoM
^ ^a ^b #Schechter p.118.
^ #Kelly p.176.
^ #Schechter p.118.
^ Hans-Peter A.Künzi. “e-9 - Quasi-Uniform Spaces”. Encyclopedia of General Topology. 2021年4月7日閲覧。
^ #Subrata p.8
^ ^a ^b #Peter p.2.
^ #Kelly p.178.
^ ^a ^b #Schechter p.442.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Kelly pp.180-181.
^ #Kelly p.181.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Schechter p.121.
^ Schechter p.122.
^ #Schechter pp.218-219.
^ ^a ^b #Kelly p.182.
^ ^a ^b #Borchers-Sen pp.159-161
^ ^a ^b ^c #Hart pp.259.
^ ^a ^b ^c ^d ^e #Kelly pp.210-211.
^ #Hart p.259.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h Schechter p.120.
^ #Schechter pp.120, 503.
^ ^a ^b #Schechter p.119.
^ #Kelly p.187
^ #Kelly pp.186-187.
^ ^a ^b ^c #Schechter p.42.
^ Kelly pp.188-189.
^ ^a ^b #Kelly p.188
^ #Peter pp.4, 6.
^ #Kelly p.188
^ #Schechter p.484.
^ ^a ^b #Schechter p.486.
^ ^a ^b #Schechter p.487.
^ ^a ^b #Kelly p.186
^ ^a ^b #Kelly p.204.
^ #Schechter p.487.
^ #Schechter p.488.
^ #Schechter pp.484-485.
^ ^a ^b #Schechter p.705
^ ^a ^b #Schechter p.499.
^ ^a ^b #Schechter p.502.
^ ^a ^b ^c #Schechter p.515
^ #Schechter p.511
^ ^a ^b ^c #Schechter p.511
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f #Kelly p.225-229.
^ ^a ^b #Schechter pp.491-493.
^ #Kelly pp.229-231.
^ #Kelly pp.231-234
^ ^a ^b #Schechter p.494.
^ ^a ^b #Schechter p.497.
^ ^a ^b #Schechter p.490.
^ #Kelly p.198.
^ #Schechter pp.505-506.

注釈

^ 関数解析では一様収束の位相を一様位相と呼ぶことがあるので注意。
^ 離散一様構造があるので、 ${\mathcal {S}}$ を含む一様構造は少なくとも１つ必ず存在する。しかし ${\mathcal {S}}$ を含む一様構造の中で最小のものが存在するとは限らない。
^ ^a ^b Kellyは一様構造の基底、準基底という概念を定義しているが、これらはいずれも前一様構造とは別概念である。参考までに基底、準基底の定義を載せると以下の通りである： $(X,{\mathcal {U}})$ を一様空間とする。このとき ${\mathcal {U}}$ の部分集合 ${\mathcal {B}}$ が ${\mathcal {U}}$ の基底^{[訳語疑問点]}（英: base）であるとは、任意の $U\in {\mathcal {U}}$ に対し、 $B\subset U$ となる $B\in {\mathcal {B}}$ が存在する事をいう^[1]。また ${\mathcal {U}}$ の部分集合 ${\mathcal {S}}$ が ${\mathcal {U}}$ の準基底^{[訳語疑問点]}（英: subbase）であるとは、 ${\mathcal {S}}$ の有限個の元の共通部分全体の集合が ${\mathcal {U}}$ の基底になっている事をいう^[1]。
^ 前一様構造である事は保証されるものの、一般には一様構造になると事は保証されない^[12]。
^ すなわち ${\mathcal {B}}$ が可算集合であり、しかも#Kelly p.177の意味で ${\mathcal {U}}$ の基底(英: base)^{[注 3]}になっているという事。
^ 例えば $(X,d)$ を完備な擬距離空間とし、 $u 0 \in X$ を任意の点とし、さらに $u 1$ を $X$ に属さない任意の点とするとき、 ${\bar {X}}:=X\cup \{u_{1}\}$ とし、 ${\bar {X}}$ 上の距離 ${\bar {d}}$ を ${\bar {d}}(x,y):={\begin{cases}d(u_{0},y)&{\text{if }}x=u_{1}\\d(x,u_{0})&{\text{if }}y=u_{1}\\d(x,y)&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ とする（すなわち ${\bar {d}}(u_{0},u_{1}):=0$ 、 ${\bar {d}}(x,u_{1}):={\bar {d}}(x,u_{0})$ と定義し、それ以外は ${\bar {d}}(x,y):=d(x,y)$ ）と定義する）と、 ${\bar {X}}$ も完備となる。よって $X$ の完備化は $X$ 自身と ${\bar {X}}$ とで２つあることになる。