一様空間におけるフィルター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/23 10:05 UTC 版)
「フィルター (数学)」の記事における「一様空間におけるフィルター」の解説
F を一様空間 X の上のフィルターとするとき、X のどんな近縁 U についても A ∈ F が存在して x, y ∈ A ならば (x, y) ∈ U となっているとき、F はコーシーフィルターだと言われる。X が距離空間の場合には、この条件は ∀ ϵ > 0 ∃ A ∈ F diam ( A ) < ϵ {\displaystyle \forall \epsilon >0\quad \exists A\in F\quad \operatorname {diam} (A)<\epsilon } と定式化できる。任意のコーシーフィルターが収束しているとき X は完備（英語版）だと言われる。 コーシーフィルター F について、より細かいフィルター G で G → x となっている物があれば、 F → x も成立している。従って、コンパクト空間は一様空間として完備になる。逆に、一様空間は完備で全有界なとき、およびそのときに限りコンパクトになる。
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