一様空間への一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
「コンパクト空間」の記事における「一様空間への一般化」の解説
コンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事は距離空間よりも一般的な一様空間でも成立する： 定理 (一様空間におけるコンパクト性の特徴づけ) ― X を一様空間とするとき以下の3つは同値である。 X はコンパクトである。 X は全有界かつ完備である。 一様空間の定義は当該項目を参照されたい。一様空間における全有界性と完備性は以下のように定義される： 定義・定理 (一様空間における全有界性) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と一致するものとする。 このとき以下の条件は全て同値である。これらの条件の少なくとも１つ（したがって全て）を満たすとき、 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} は全有界(英: totally bounded)もしくはプレコンパクト(英: precompact)であるという。 任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、ある有限集合F∈Xが存在し、 ∪ x ∈ F U [ x ] = X {\displaystyle \cup _{x\in F}U[x]=X} である。 任意の擬距離d∈Dと任意の実数ε>0に対し、Xの有限部分集合Fが存在し、 ∪ x ∈ F { y ∣ d ( x , y ) < ε } = X {\displaystyle \cup _{x\in F}\{y\mid d(x,y)<\varepsilon \}=X} が成立する。 X上の任意の有向点族は部分有向点族でコーシーなものを持つ。 定義 (一様空間の完備性) ― 距離空間 X が完備であるとは X 上の任意のコーシー有向点族が少なくとも１つ極限を持つ事をいう。 上で「少なくとも１つ極限を持つ」という言い方をしているのは、 U {\displaystyle {\mathcal {U}}} が定める位相構造がハウスドルフでない限り、有向点族の収束の一意性は保証されないからである。
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一様空間への一般化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/26 16:59 UTC 版)
「一様コーシー列」の記事における「一様空間への一般化」の解説
ある集合 S から距離空間 U への函数列 { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} が一様コーシーであるとは、次が成り立つことをいう： すべての x ∈ S {\displaystyle x\in S} と任意の近縁 ε {\displaystyle \varepsilon } に対して、ある N > 0 {\displaystyle N>0} が存在し、 m , n > N {\displaystyle m,n>N} であるなら d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) < ε {\displaystyle d(f_{n}(x),f_{m}(x))<\varepsilon } が常に成り立つ。
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