全有界性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 08:36 UTC 版)
距離空間Xが全有界であるとは任意の ε > 0 に対し、X を半径 ε の有限個の開球で被覆する事ができる事を指す： 定義 (全有界性) ― 距離空間Xが全有界（ぜんゆうかい、英: totally bounded）もしくはプレコンパクト（英: precompact）であるとは任意の ε > 0 に対し、Xの有限部分集合 F ⊂ X {\displaystyle F\subset X} が存在し、 X = ⋃ x ∈ F B ε ( x ) {\displaystyle X=\bigcup _{x\in F}B_{\varepsilon }(x)} となる事を指す。（ここで B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} は点xのε-近傍 B ε ( x ) = { y ∈ X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}} を表す。） 全有界性は以下のようにも特徴づけられる事が知られている： 定理2 ― 距離空間Xが全有界である必要十分条件は以下を満たす事である：X上の任意の点列に対しある部分列が存在し、その部分列はコーシー列である。
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