全有界性とコンパクト
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
距離空間においてはコンパクト性と「全有界かつ完備」が同値になる事が知られているが、これは一様空間においても成立する。 これを見るためにまず一様空間における全有界性を定義する： 定義・定理 (一様空間における全有界性) ― ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} を一様空間とし、DをX上の擬距離の集合でDが定める一様構造が U {\displaystyle {\mathcal {U}}} と一致するものとする。 このとき以下の条件は全て同値である。これらの条件の少なくとも１つ（したがって全て）を満たすとき、 ( X , U ) {\displaystyle (X,{\mathcal {U}})} は全有界(英: totally bounded)もしくはプレコンパクト(英: precompact)であるという。 任意の近縁 U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} に対し、ある有限集合F∈Xが存在し、 ∪ x ∈ F U [ x ] = X {\displaystyle \cup _{x\in F}U[x]=X} である。 任意の擬距離d∈Dと任意の実数ε>0に対し、Xの有限部分集合Fが存在し、 ∪ x ∈ F { y ∣ d ( x , y ) < ε } = X {\displaystyle \cup _{x\in F}\{y\mid d(x,y)<\varepsilon \}=X} が成立する。 X上の任意のネットは部分ネットでコーシーなものを持つ。 全有界を使うとコンパクト性は以下のように特徴づけられる。 定理 (一様空間におけるコンパクト性の特徴づけ) ― X を一様空間とするとき以下の3つは同値である。 X はコンパクトである。 X は全有界かつ完備である。
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