定理2

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定理2

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/12 07:00 UTC 版)

「同型定理」の記事における「定理2」の解説

G を群とする。S を G の部分群とし、N を G の正規部分群とする。このとき 積（英語版） SN は G の部分群であり、 共通部分 S ∩ N は S の正規部分群であり、 商群 (SN)/N と S/(S ∩ N) は同型である。 技術的には、S が N の正規化群の部分群でありさえすれば N のが正規部分群である必要はない。この場合、共通部分 S ∩ N は G の正規部分群とは限らないが、S の正規部分群ではなおある。

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「同型定理」の記事における「定理2」の解説

R を環とする。S を R の部分環とし、I を R のイデアルとする。このとき 和 S + I = {s + i | s ∈ S, i ∈ I} は R の部分環であり、 共通部分 S ∩ I は S のイデアルであり、 商環 (S + I)/I と S/(S ∩ I) は同型である。

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「同型定理」の記事における「定理2」の解説

M を加群とし、S と T を M の部分加群とする。このとき 和 S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T} は M の部分加群であり、 共通部分 S ∩ T は S の部分加群であり、 商加群 (S + T)/T と S/(S ∩ T) は同型である。

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「同型定理」の記事における「定理2」の解説

代数系 A と A の部分代数系 B と、A 上の合同 Φ が与えられ、ΦB := Φ ∩(B × B) を Φ の B におけるトレースとし [B]Φ := {K ∈ A/Φ | K ∩ B ≠ ∅} を B と交わる同値類の集まりとする。 このとき ΦB は B 上の合同で、 [B]Φ は A/Φ の部分代数系で、 代数系 [B]Φ は代数 B/ΦB に同型である。