部分環

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部分環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/06/02 14:06 UTC 版)

数学における部分環（ぶぶんかん、英: subring）は、環 R の部分集合 S で、R の加法と乗法をそこに制限するときそれ自身が環となり、かつ R の単位元を含むものを言う。単位元を持つことを仮定しない場合には、R の演算の制限で S が環を成すことのみを以って部分環を定義する（この場合も自動的に S は R の加法単位元を含む）。後者は前者よりも弱い条件であり、例えば任意のイデアルは（たとえ乗法的単位元を持つ環においても）後者の意味の部分環になる（この部分環が、もとの環とは異なる乗法単位元を持つ場合もあり得る）。（本項で扱う）単位元の存在を定義に含める場合には、R の部分環となるようなイデアルは R 自身に限る。

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部分環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/28 16:41 UTC 版)

「セグレの多重複素数」の記事における「部分環」の解説

n ≥ 1 に対し、ℂ0, …, ℂn−1 は何れも ℂn の部分環である。 k ≤ n に対し、ℂn は ℂk 上 2n−k-次元である。 n ≥ 1 に対し、各虚数単位 ik は i2k = −1 を満足するから、ℂn は複素数平面の n 個のコピーを含む。 n ≥ 2 および a ≠ b に対し、数 ja,b := ia⋅ib = ib⋅ia は ja,b2 = 1 を満たすから、ℂn は n(n−1)/2 個の分解型複素数平面を含む。

部分環

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 14:00 UTC 版)

「環 (数学)」の記事における「部分環」の解説

R の部分集合 S が R における加法と乗法について環になっているとき、S は部分環であるという。ただし、R が単位的であるときは、S が（単位的環としての）部分環であるためには S が R における単位元を含むことを課す。 R の元のうちでほかのどんな元との積も可換になっているようなものを集めた集合 Z(R) はRの中心とよばれる。Z(R) は R の可換な部分環になっている。