分解型複素数

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分解型複素数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 14:19 UTC 版)

分解型複素数（ぶんかいがたふくそすう、英語: split-complex number; 分裂複素数）とは、数学において、2つの実数 x, y と j² = +1 を満たす実数でない量を用いて z = x + yj と表せる数のことである。

分解型複素数と通常の複素数の最も大きな幾何学的な違いは、通常の複素数の乗法が ℝ² における通常の自乗ユークリッドノルム x² + y² に従う一方、分解型複素数の乗法が自乗ミンコフスキーノルム x² − y² に従うことである。

代数的には、分解型複素数は（通常の複素数には無い）非自明な（つまり、0 でも 1 でもない）冪等元を含むという興味深い性質を持つ。また、全ての分解型複素数が成す集合は体にはならないが、その代わりに環を成す。

分解型複素数には他の呼び名がたくさんある（#別称を参照）。「分解型」(split) というのは、(p, p)-型の（計量二次形式の）符号数が「分解型符号数」(split signature) と呼ばれることからきている。つまり、分解型複素数は分解型符号数 (1, 1) を持つ複素数の類似である。

定義

分解型複素数は z = x + jy なる形をしている。ここで x, y は実数で、量 j は j² = +1 を満たす、実数（つまり ±1）でない量（「虚数単位」）である。

通常の複素数と異なるのは、虚数単位が i² = −1 でなく j² = +1 であることである。

分解型複素数 z 全体からなる集合は分解型複素平面 (split-complex plane) と呼ばれる。分解型複素数の加法と乗法は

(x + jy) + (u + jv) = (x + u) + j(y + v),

(x + jy)(u + jv) = (xu + yv) + j(xv + yu)

で定義される。この乗法は可換結合的であり、加法に対して分配的である。

共軛、ノルムおよび内積

複素数における複素共役と同様に、分解型複素共軛 (split-complex conjugate) の概念を定義することができる。分解型複素数 z = x + jy に対して、その共軛は

z* := x − jy

で与えられる。この共軛は、複素共役と同様に、

• (z + w)* = z* + w*
• (z⋅w)* = z*⋅w*
• (z*)* = z

などの性質を満たす。この3条件は分解型複素数の環が、分解型複素共軛を対合（位数 2 の自己同型）に持つ対合付き環であることを示している。分解型複素数 z = x + jy の絶対値（平方ノルム）は二次形式

‖ z ‖ := z⋅z* = z*⋅z = x² − y²

で与えられる。重要な性質として、絶対値は

‖ z⋅w ‖ = ‖ z ‖⋅‖ w ‖

が成立するという意味で分解型複素数の乗法と両立する。ただし、この二次形式は正定値ではなく符号数 (1, 1) を持つ不定値二次形式であるので、この絶対値は平方根をとるわけにはいかないし取れたとしても（解析学的な意味での）ノルムにはならない。分解型複素数に付随する (1, 1)-型双曲的（不定値）内積が

⟨z, w⟩ := ℜe(z⋅w*) = ℜe(z*⋅w) = xu − yv

によって与えられる。ただし、z = x + jy, w = u + jv である。これを用いると、絶対値の別の表示として

‖ z ‖ = ⟨z, z⟩

と書くことができる。分解型複素数が可逆であることとその絶対値が非零であることとは同値であり、そのとき逆元は

z⁻¹ := ^z*⁄_{‖ z ‖}

で与えられる。可逆でない分解型複素数はヌル元 (null element) と呼ばれ、ヌル元の全体は適当な実数 a をとって a ± ja の形に書ける元の全体と一致する。

対角基底

分解型複素数には非自明な冪等元が2つ存在して、それは e := (1 − j)/2, e* = (1 + j)/2 で与えられる。これらはともに

$\lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0$

青：単位直交双曲線 ‖ z ‖ = 1, 緑：共軛双曲線 ‖ z ‖ = −1, 赤：漸近線 ‖ z ‖ = 0

ミンコフスキー内積を備えた実二次元線型空間は (1 + 1)-次元ミンコフスキー空間と呼ばれ、しばしば ℝ^1,1 と表される。ユークリッド平面 ℝ² における幾何学が複素数を用いて記述できるのと同様に、ミンコフスキー平面 ℝ^1,1 における幾何学は分解型複素数を用いて記述できる。

0 でない任意の実数 a に対し、点集合

${\displaystyle \{z:\lVert z\rVert =a^{2}\}}$