対角基底
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/08/31 14:19 UTC 版)
分解型複素数には非自明な冪等元が2つ存在して、それは e := (1 − j)/2, e* = (1 + j)/2 で与えられる。これらはともに ‖ e ‖ = ‖ e ∗ ‖ = e ∗ e = 0 {\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0} ゆえ、ヌル元である。分解型複素平面におけるもう一つの基底として {e, e*} をとるとしばしば便利である。この基底は対角基底あるいはヌル基底と呼ばれる。分解型複素数 z は対角基底を用いて z = x + jy = (x − y)e + (x + y)e* と表せる。実数 a, b の順序対 (a, b) で分解型複素数 ae + be* を表すとき、分解型複素数の乗法は (a1, b1)(a2, b2) := (a1a2, b1b2) で与えられる。この基底を用いれば、分解型複素数の全体が環の直和 ℝ ⊕ ℝに同型であることがはっきり判る。 対角基底に関して分解型複素共軛は (a, b)* = (b, a) であり、絶対値は ‖ (a, b) ‖ = ab を満たす。
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