外部ポテンシャル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/03/15 11:06 UTC 版)
「シュレーディンガー場」の記事における「外部ポテンシャル」の解説
粒子が外部電位 V ( x ) {\displaystyle V(x)} と相互作用する場合、作用に次のような、局所相互作用を含む物を選ぶ。： S = ∫ x t ψ † ( i ∂ ∂ t + ∇ 2 2 m ) ψ − ψ † ( x ) ψ ( x ) V ( x ) . {\displaystyle S=\int _{xt}\psi ^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}+{\nabla ^{2} \over 2m}\right)\psi -\psi ^{\dagger }(x)\psi (x)V(x).} Vに対する通常のシュレーディンガー方程式が既知のエネルギー固有状態 ϕ i ( x ) {\displaystyle \phi _{i}(x)} （また、そのエネルギー固有値を E i {\displaystyle E_{i}} とする）と記述される時 、作用に現れる場はモード展開によって別の対角基底で展開できます： ψ ( x ) = ∑ i ψ i ϕ i ( x ) . {\displaystyle \psi (x)=\sum _{i}\psi _{i}\phi _{i}(x).\,} このときの作用は次のように記述される。 S = ∫ t ∑ i ψ i † ( i ∂ ∂ t − E i ) ψ i {\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}\psi _{i}^{\dagger }\left(i{\partial \over \partial t}-E_{i}\right)\psi _{i}\,} これは独立した調和振動子の集合体に対する位置運動量経路積分とみることができる。 等価性を見るには、作用を実部と虚部に分解できることに注意して以下のようにすればよい。 S = ∫ t ∑ i 2 ψ r d ψ i d t − E i ( ψ r 2 + ψ i 2 ) {\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}2\psi _{r}{d\psi _{i} \over dt}-E_{i}(\psi _{r}^{2}+\psi _{i}^{2})} それぞれを独立に積分する。 ψ r {\displaystyle \psi _{r}} に対して積分を取ることで作用は以下のように記述できる。 S = ∫ t ∑ i 1 E i ( d ψ i d t ) 2 − E i ψ i 2 {\displaystyle S=\int _{t}\sum _{i}{1 \over E_{i}}\left({d\psi _{i} \over dt}\right)^{2}-E_{i}\psi _{i}^{2}} ただし、 ψ i {\displaystyle \scriptstyle \psi _{i}} を リスケールして、 E i {\displaystyle E_{i}} 周期の調和振動子とした作用である。
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