経路積分
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経路積分（けいろせきぶん）あるいは径路積分は、リチャード・P・ファインマンが考案した量子力学の理論手法である。ファインマンの経路積分とも呼ばれる。
経路積分
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「シュレディンガー音頭」の記事における「経路積分」の解説
経路積分。物理学者リチャード・P・ファインマンがはじめた量子力学の記述法。
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経路積分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 05:29 UTC 版)
ファインマン・ダイアグラムの複雑な計算や対称性に関する議論に有用な方法が経路積分による量子化である。スカラー場がφ4相互作用をする場合の生成汎関数を以下のように定義する。 Z [ J ] ≡ ∫ D ϕ e i ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − m 2 2 ϕ 2 − g 4 ! ϕ 4 + J ϕ ) = ∫ D ϕ e i ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − m 2 2 ϕ 2 + J ϕ ) ( 1 − i ∫ d 4 x g 4 ! ϕ 4 + ⋯ ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z[J]&\equiv \int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}\\&=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+J\phi \right)}\left(1-i\int d^{4}x{g \over 4!}\phi ^{4}+\cdots \right)\end{aligned}}} ここで、導入されたJ(x)は外場である。結合定数gが十分に小さいとき、2行目のように相互作用項は摂動展開される。 n個の場の時間順序積の真空期待値、すなわちn点相関関数は、生成汎関数を外場J(x)でn回汎関数微分することで得られ、外場の無いとき（J=0）の生成汎関数によって規格化される。 ⟨ 0 | T { ϕ ( x 1 ) ⋯ ϕ ( x n ) } | 0 ⟩ = ( − i ) n 1 z [ J ] δ n Z [ J ] δ J ( x 1 ) ⋯ δ J ( x n ) | J = 0 = ∫ D ϕ ϕ ( x 1 ) ⋯ ϕ ( x n ) e i ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − m 2 2 ϕ 2 − g 4 ! ϕ 4 ) ∫ D ϕ e i ∫ d 4 x ( 1 2 ∂ μ ϕ ∂ μ ϕ − m 2 2 ϕ 2 − g 4 ! ϕ 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|0\rangle &=\left.(-i)^{n}{\frac {1}{z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}\\&={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}\end{aligned}}} この式でn=2のときが、2点相関関数、すなわちファインマン伝播関数である。 また、生成汎関数の定義にウィック回転を適用すると、計量テンソルの符号は(+,+,+,+)と変わり、4次元ミンコフスキー時空上の積分を4次元ユークリッド空間上での統計力学的な分配関数として扱うことができる。 Z [ J ] = ∫ D ϕ e − ∫ d 4 x E ( 1 2 ( ∇ ϕ ) 2 + m 2 2 ϕ 2 + g 4 ! ϕ 4 − J ϕ ) {\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x_{E}\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}-J\phi \right)}} 運動量が決められた粒子の散乱問題に適用するような場合には、フーリエ変換を用いて指数関数の中の積分を座標表示から運動量表示へ書き直す。 Z ~ [ J ~ ] = ∫ D ϕ ~ e − ∫ d 4 p ( 1 2 ( p 2 + m 2 ) ϕ ~ 2 + g 4 ! ϕ ~ 4 − J ~ ϕ ~ ) {\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}+{g \over 4!}{\tilde {\phi }}^{4}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}\right)}}
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