うんどう‐ほうていしき〔‐ハウテイシキ〕【運動方程式】
運動方程式
物体の運動を表す式。一般に、運動している物体の力の釣り合いを表す式で、加速度を変数とする慣性項、速度を変数とする減衰項、変位を変数とするばね項、外部から加わる力である外力項で構成される。
運動方程式
運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/13 15:20 UTC 版)
運動方程式は、次の方程式で与えられる。（この方程式を一部の学会ではクロイター方程式(Kroyter equation)と呼ぶこともある。） Q B Ψ + Ψ ∗ Ψ = 0 {\displaystyle Q_{B}\Psi +\Psi *\Psi =0\left.\right.} 弦の場 Ψ {\displaystyle \Psi } は通常の古典場の無限個の集りであるので、これらの方程式は非線型な微分方程式の無限個の集りを表す。（これらの方程式の）解を探すには、2つの方法がある。 ひとつは数値的な方法で、弦の場を消去し、単に固定された値よりも小さな質量を持つ場を意味するとする、「レベル消去(level truncation)」として知られている過程である。 これは運動方程式を有限個の結合された微分方程式とする過程で、多くの解の発見へつながった。 第二の方法は、マルチン・シュナーベル(Martin Schnabl)の仕事により、*-積とBRST作用素による作用の下での単純な振る舞いを持つように仮設を注意深く取り込むことで、解析的な解を得ることができるという方法である。この方法は、タキオン真空解と同様に、臨界での変形を表す解として得られることを導いた。
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/19 12:00 UTC 版)
物体の慣性モーメント I、角加速度 α、力のモーメント N の間には、ニュートンの運動方程式とよく似た関係が成り立つ。 I α = N . {\displaystyle I{\boldsymbol {\alpha }}={\boldsymbol {N}}.}
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/09 09:35 UTC 版)
二重振り子の運動方程式はラグランジュ関数を用いて導出される場合が多い。各振り子の腕は剛体、連結部での摩擦や空気抵抗のような減衰は無い、外力は働かない自由振動とすれば、以下のような運動方程式が得られる。 それぞれの振子の腕の先端に質点が存在するモデル（単振り子を連結したモデル）の運動方程式を示す。 ( m 1 + m 2 ) l 1 θ ¨ 1 + m 2 l 2 θ ¨ 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) + m 2 l 2 θ ˙ 2 2 sin ( θ 1 − θ 2 ) + ( m 1 + m 2 ) g sin θ 1 = 0 {\displaystyle (m_{1}+m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})g\sin \theta _{1}=0} l 1 l 2 θ ¨ 1 cos ( θ 1 − θ 2 ) + l 2 2 θ ¨ 2 − l 1 l 2 θ ˙ 1 2 sin ( θ 1 − θ 2 ) + g l 2 sin θ 2 = 0 {\displaystyle l_{1}l_{2}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+l_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}-l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+gl_{2}\sin \theta _{2}=0} ここで、θ1、θ2：各振り子角、m1、m2：各質量、l1、l2：各振り子長さ、g：重力加速度で、˙は時間tによる1階微分、¨はtによる2階微分を表す。 一方、それぞれの振子の腕の中間に質点が存在するモデル（物理振り子を連結したモデル）の運動方程式を示す。 ( m 1 + 4 m 2 ) l 1 θ ¨ 1 + 2 m 2 l 2 θ ¨ 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) + 2 m 2 l 2 θ ˙ 2 2 sin ( θ 1 − θ 2 ) + ( m 1 + 2 m 2 ) g sin θ 1 = 0 {\displaystyle (m_{1}+4m_{2})l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}+2m_{2}l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+2m_{2}l_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+2m_{2})g\sin \theta _{1}=0} l 2 θ ¨ 2 + 2 l 1 θ ¨ 1 cos ( θ 1 − θ 2 ) − 2 l 1 θ ˙ 1 2 sin ( θ 1 − θ 2 ) + g sin θ 2 = 0 {\displaystyle l_{2}{\ddot {\theta }}_{2}+2l_{1}{\ddot {\theta }}_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-2l_{1}{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+g\sin \theta _{2}=0} ここで、2l1、2l2：各振り子長さで、他は上記の単振り子連結モデルと同じである。どちらのモデルも力学系の解析ではよく扱われる。 これらの系の運動状態は、 θ 1 {\displaystyle \theta _{1}} 、 θ 2 {\displaystyle \theta _{2}} 、 θ ˙ 1 {\displaystyle {\dot {\theta }}_{1}} 、 θ ˙ 2 {\displaystyle {\dot {\theta }}_{2}} の4つの変数で一意に決定される。しかし、これらの運動方程式の理論解析は困難なため、運動状態を得るにはコンピュータによる数値解析が行われる。変数の時間発展を得るためにルンゲ＝クッタ法などが使用される。 簡単のために状態を限定すれば厳密解を得ることもでき、振り子の振り幅が小さい範囲として、なおかつm1 = m2 = m、l1 = l2 = lとすれば、運動は2つの固有振動の足し合わせで表され、それぞれの固有振動数ω1、ω2は以下のように得られる。 ω 1 = 2 − 2 g l = 0.765 g l {\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\frac {g}{l}}}=0.765{\sqrt {\frac {g}{l}}}} ω 2 = 2 + 2 g l = 1.848 g l {\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{\sqrt {\frac {g}{l}}}=1.848{\sqrt {\frac {g}{l}}}}
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/14 01:15 UTC 版)
倒立振子の運動方程式は、倒立振子に課せられる拘束によって変化する。倒立振子の構成には様々なものがありうるため、それらを記述する運動方程式も数多く存在する。
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/14 05:59 UTC 版)
球状の物体が重力により落下しながら浮力と空気抵抗を受けている場合を考える。また仮定として、物体は単独で（他の物体があってもそれらからの影響を受けずに）運動しているとする。 このとき、物体の運動方程式は ρ s V d u d t = ( ρ s − ρ f ) V g − c D S ρ f u 2 2 {\displaystyle \rho _{\mathrm {s} }V{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=(\rho _{\mathrm {s} }-\rho _{\mathrm {f} })Vg-c_{\mathrm {D} }S{\frac {\rho _{\mathrm {f} }u^{2}}{2}}} となる。ここで、 ρs ：物体の密度 [kg/m3] ρf ：空気の密度 V = π 6 d 3 {\displaystyle V={\frac {\pi }{6}}d^{3}} ：物体の体積 [m3] S = π 4 d 2 {\displaystyle S={\frac {\pi }{4}}d^{2}} ：物体の運動方向への投影面積 [m2]d ：物体の直径 [m] u ：物体の速度 [m/s] g ：重力加速度 [m/s2] cD ：抗力係数 である。 抗力係数 cD は c D = { 24 R e ( R e < 2 ) 10 R e ( 2 < R e < 500 ) 0.44 ( 500 < R e < 10 5 ) {\displaystyle c_{\mathrm {D} }={\begin{cases}{\dfrac {24}{Re}}&(Re<2)\\{\dfrac {10}{\sqrt {Re}}}&(2<Re<500)\\0.44&(500<Re<10^{5})\end{cases}}} と表される。ここで、Re は物体の速度を無次元化したレイノルズ数であり、 R e = d u ρ f μ f {\displaystyle Re={\frac {du\rho _{\mathrm {f} }}{\mu _{\mathrm {f} }}}} μf ：空気の粘性係数 [kg/m s] と定義される。この流れはレイノルズ数Re の範囲で Re < 2 ：ストークス域（層流域） 2 < Re < 500 ：アレン域（中間域） 500 < Re < 105 ：ニュートン域（乱流域） と呼び分けられる。
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/18 16:15 UTC 版)
「アインシュタイン・ヒルベルト作用」の記事における「運動方程式」の解説
さて、必要な式の変形は全て整ったので、これらを計量場の運動方程式へ代入すると、 R μ ν − 1 2 g μ ν R = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }} を得ることができる。この式はアインシュタインの場の方程式であり、 κ = 8 π G c 4 {\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}} を選ぶと、非相対論的極限ではニュートンの万有引力の法則であることが分かる。ここに G は重力定数である（詳細は対応原理を参照）。
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 07:11 UTC 版)
「N体シミュレーション」の記事における「運動方程式」の解説
宇宙膨張は、宇宙の現在の大きさを1とする相対的な大きさを表すスケール因子 a ( t ) {\displaystyle a(t)} により表され、その時間発展はフリードマン方程式 1 a d a d t = H 0 Ω Λ 0 + Ω m 0 a − 3 + Ω r 0 a − 4 {\displaystyle {\frac {1}{a}}{\frac {da}{dt}}=H_{0}{\sqrt {\Omega _{\mathrm {\Lambda } 0}+\Omega _{m0}a^{-3}+\Omega _{r0}a^{-4}}}} により与えられる。ここに H 0 {\displaystyle H_{0}} はハッブル定数、 Ω x 0 {\displaystyle \Omega _{x0}} は密度パラメータである。これにより、逆に独立変数として時刻 t {\displaystyle t} の代わりにスケール因子 a {\displaystyle a} を用いることができる。 粒子の座標としては宇宙膨張の効果を取り除いた共動座標 x {\displaystyle \mathbf {x} } が用いられる。これは固有座標 r {\displaystyle \mathbf {r} } と r = a ( t ) x {\displaystyle \mathbf {r} =a(t)\mathbf {x} } という関係にある。粒子の速度はその微分 d r d t = H r + a ( t ) d x d t {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=H\mathbf {r} +a(t){\frac {d\mathbf {x} }{dt}}} であるが、初期宇宙での発散を回避するために w := a ( t ) d x d t {\displaystyle \mathbf {w} :={\sqrt {a(t)}}{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}} が用いられる。最終的な運動方程式は d x d a = w S ( a ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{da}}={\frac {\mathbf {w} }{S(a)}}} d w d a = − 3 2 w a + 1 a 2 S ( a ) ∇ Φ ( x ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {w} }{da}}=-{\frac {3}{2}}{\frac {\mathbf {w} }{a}}+{\frac {1}{a^{2}S(a)}}\nabla \Phi (\mathbf {x} )} S ( a ) = H 0 Ω m 0 + a 3 Ω Λ 0 {\displaystyle S(a)=H_{0}{\sqrt {\Omega _{m0}+a^{3}\Omega _{\Lambda 0}}}} である。
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/13 06:49 UTC 版)
すでに運動量の概念を4元ベクトル化したので、力の概念を4元ベクトル化した4元力 f→ が定義できれば、 ニュートンによる質点の運動方程式 f = dp / dt をローレンツ変換に不変にした特殊相対性理論の運動方程式 f → = m d p → d t {\displaystyle {\vec {f}}=m{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}} が定式化できる。 現在知られている4種類の力のうち、電磁気力、強い力、弱い力の3つは4元力として表現可能な事が知られている。このうち電磁気力を4元力として表現する方法は後の節で述べる。 一方、重力は特殊相対性理論の範囲で4元ベクトル化しようとしてもローレンツ変換に対して不変にならないためうまくいかない。重力を扱うには一般相対性理論が必要となる。
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 22:28 UTC 版)
自由落下時に発生する抗力は以下の式となる。 D = 1 2 ρ v 2 S C D {\displaystyle D={1 \over 2}\rho v^{2}SC_{\mathrm {D} }} ここで C D {\displaystyle C_{\mathrm {D} }} は抗力係数 D は、発生する抗力 ρ {\displaystyle \rho } は大気密度 v {\displaystyle v} は物体と大気の相対速度 m {\displaystyle m} は降下物体の質量 S b {\displaystyle S_{b}} は降下物体の投影面積 従って自由落下時の運動方程式は、以下のようになる。 m d v d t = m g − 1 2 ρ v 2 S C D {\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=mg-{1 \over 2}\rho v^{2}SC_{D}}
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/01 22:16 UTC 版)
Vを連続体上の（時間変化しない）任意の領域とするとき、運動量保存の法則から以下が成立する: (単位時間にVに働く力積の総和) = (単位時間にVに流出する運動量の総和) + (単位時間にVに働く体積力による力積) + (単位時間にVの境界に働く面積力による力積) 上の式を具体的に書き下すことで、連続体の運動方程式を導出できる。 連続体の点xにおける時刻tでの密度をρ=ρ(x,t)とし、速度ベクトルをv=v(x,t)とするとき、 (単位時間にVに働く力積の総和) = d d t ∫ V ρ v d V = ∫ V ∂ ( ρ v ) ∂ t d V , {\displaystyle ={\operatorname {d} \over \operatorname {d} t}\int _{V}\rho \mathbf {v} \operatorname {d} V=\int _{V}{\partial (\rho \mathbf {v} ) \over \partial t}\operatorname {d} V,} であり、 (単位時間にVに流出する運動量の総和) = ∫∂V(微小面積dSを通って流入した粒子の総質量)・(dSの法線方向の粒子の速さ)dS = ∫ ∂ V ( ρ v ) ⋅ ( v ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}(\rho \mathbf {v} )\cdot (\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\operatorname {d} S} = ∫ ∂ V t ( ρ v 1 v ⋅ n , ρ v 2 v ⋅ n , ρ v 3 v ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}{}^{t}(\rho v_{1}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} ,\rho v_{2}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} ,\rho v_{3}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\operatorname {d} S} = ∫ V t ( ∇ ⋅ ( ρ v 1 v ) , ∇ ⋅ ( ρ v 2 v ) , ∇ ⋅ ( ρ v 3 v ) ) d V {\displaystyle =\int _{V}{}^{t}(\nabla \cdot (\rho v_{1}\mathbf {v} ),\nabla \cdot (\rho v_{2}\mathbf {v} ),\nabla \cdot (\rho v_{3}\mathbf {v} ))\operatorname {d} V} である。最後の等式はガウスの発散定理による。ここでv=(v1,v2,v3)である。体積力をK=(K1,K2,K3)とすると、 (単位時間にVに働く体積力による力積) = ∫ V ρ K d V {\displaystyle \int _{V}\rho \mathbf {K} \operatorname {d} V} であり、さらに σ i = ( σ i , 1 , σ i , 2 , σ i , 3 ) {\displaystyle \mathbf {\sigma } _{i}=(\sigma _{i,1},\sigma _{i,2},\sigma _{i,3})} とすると、 (単位時間にVの境界に働く面積力による力積) = ∫ ∂ V ∑ i , j σ i , j n j e j d S {\displaystyle \int _{\partial V}\sum _{i,j}\sigma _{i,j}n_{j}\mathbf {e} _{j}\operatorname {d} S} = ∫ ∂ V t ( σ 1 ⋅ n , σ 2 ⋅ n , σ 3 ⋅ n ) d S {\displaystyle =\int _{\partial V}{}^{t}(\mathbf {\sigma } _{1}\cdot \mathbf {n} ,\mathbf {\sigma } _{2}\cdot \mathbf {n} ,\mathbf {\sigma } _{3}\cdot \mathbf {n} )\operatorname {d} S} = ∫ V t ( ∇ ⋅ σ 1 , ∇ ⋅ σ 2 , ∇ ⋅ σ 3 ) d V {\displaystyle =\int _{V}{}^{t}(\nabla \cdot \mathbf {\sigma } _{1},\nabla \cdot \mathbf {\sigma } _{2},\nabla \cdot \mathbf {\sigma } _{3})\operatorname {d} V} である。最後の等式は再びガウスの発散定理による。 Vの任意性より、最終的に連続体の運動方程式は以下のようになる： i=1, 2, 3に対し、 ∂ ( ρ v i ) ∂ t = ∇ ⋅ ( ρ v i v ) + ρ K i + ∇ ⋅ σ i {\displaystyle {\partial (\rho v_{i}) \over \partial t}=\nabla \cdot (\rho v_{i}\mathbf {v} )+\rho K_{i}+\nabla \cdot \mathbf {\sigma } _{i}} なお、テンソル ε=(εij)ijに対し div → ε = ( ∑ j ∂ ε i j ∂ x j ) i {\displaystyle {\overrightarrow {\operatorname {div} }}\varepsilon =(\sum _{j}{\partial \varepsilon _{ij} \over \partial x_{j}})_{i}} と定義すると、上の方程式は ∂ ( ρ v ) ∂ t = div → ( ρ v ⊗ v ) + ρ K + div → σ {\displaystyle {\partial (\rho \mathbf {v} ) \over \partial t}={\overrightarrow {\operatorname {div} }}(\rho \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )+\rho \mathbf {K} +{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma } と書くこともできる。 上の運動方程式と連続の方程式(C1)を用いる事で、運動方程式の物質微分による以下の表現を得ることができる： D v D t = K + 1 ρ div → σ {\displaystyle {\operatorname {D} \mathbf {v} \over \operatorname {D} t}=\mathbf {K} +{1 \over \rho }{\overrightarrow {\operatorname {div} }}\sigma } (C2)
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/05 08:14 UTC 版)
質点の角運動量の時間変化は d L d t = r × d p d t + d r d t × p {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {r}}\times {\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}+{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\times {\boldsymbol {p}}} となる。ここで、ニュートンの運動方程式 dp/dt = F を用いれば、第一項は力のモーメント N = r×F となる。また、第二項は (dr/dt)×p = mv×v = 0 となる。したがって、角運動量はニュートンの運動方程式と同様なオイラーの運動方程式 d L d t = N {\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}} を満たす。 力のモーメントはその定義から座標原点の選択に依存する。しかし、座標原点の移動による力のモーメントの変化と角運動量の変化が相殺され、運動方程式は常に成り立つ。
※この「運動方程式」の解説は、「角運動量」の解説の一部です。
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/11/07 03:55 UTC 版)
等方性弾性体の運動方程式は次式で表される。 ここでui は変位、ρは密度、λ, μはラメ定数、gi は重力加速度である。 ここで重力を無視し、変位が空間的にx1 方向にのみ依存する平面波であるとすると、上式は以下の1次元波動方程式になる。
※この「運動方程式」の解説は、「弾性波」の解説の一部です。
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運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/12/15 00:11 UTC 版)
回転運動では、ニュートンの運動の第2法則を適用してトルクと角加速度の関係を記述することができる。 τ → = I α → {\displaystyle {\vec {\tau }}=I{\vec {\alpha }}} ここで τ → {\displaystyle {\vec {\tau }}} は物体に働く全トルクであり、 I {\displaystyle \,I} は物体の慣性モーメントである。
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