微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/22 01:54 UTC 版)
解析学において、
注釈
- ^ 英: order
- ^ 英: nth order differential equation
- ^ 英: non-linear differential equation
- ^ 英: homogeneous linear differential equation
- ^ 英: inhomogeneous linear differential equation
- ^ 英: stochastic differential equation、SDE
- ^ この微分方程式の解として指数関数を定義する場合もある。その場合、y(0) = 1 となる解 y(x) を指数関数 exp(x) (≡ ex) とする。
- ^ この関係を示す際に、ラフな計算法として dy, dx を微小な数として扱うことがある。つまり、
- ^ 対数関数が指数関数の逆関数であることを利用する。exp(ln y) = y.
- ^ 解法： 一つの方法は次の自然対数の積分公式を利用する方法である。
ある x で y が 0 となるなら、
方程式を満たす解 y は 0 である。次に y が 0 とならない解を探すと、 方程式は次のように変形できる。
両辺を積分すれば、右辺は最初に示した積分と同じ形になる[注釈 8]。
両辺の積分を計算すると方程式の解は指数関数になることが分かる[注釈 9]。
その他の解法としては結局、指数関数か対数関数の定義に帰着させることになる。
- ^ 非自明な解を探しているので、任意の λ に対して f(x) = Cexp(λx) ≠ 0 である。従って、
- ^ 解の形として f(x) = C(x)exp(λx) というものを仮定しても一般性は損なわれない。
- ^ a ≠ 0 と b ≠ 0 および α と β ≠ 0 は定数で、C1, C2 は積分定数。
出典
- ^ a b c d e 長倉三郎ほか編、『岩波理化学辞典 Archived 2013年9月27日, at the Wayback Machine.』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6
- ^ a b 長島隆廣 『常微分方程式80余例とその厳密解』 近代文芸社、2005年 ISBN 4-7733-7282-6. 国立国会図書館蔵書, 請求記号：MA117-H55（東京 本館書庫）
- ^ 長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター，1982年5月発行，国立国会図書館・請求記号 MA117-111，全国書誌番号 82049441
- ^ 長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開，全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または，https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/263160/16f8fddfba5ab789f6475ac2962bfd31?frame_id=539358
- 1 微分方程式とは
- 2 微分方程式の概要
- 3 概要
- 4 解法
- 5 脚注
微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/30 23:37 UTC 版)
詳細は「常微分方程式の数値解法」および「偏微分方程式の数値解法」を参照 数値解析では、微分方程式（常微分方程式や偏微分方程式）を（近似的に）解く問題も扱う。 偏微分方程式を解くには、まず方程式を離散化し、有限次元の部分空間で計算を行う。そのような手法として、有限要素法、差分法、特に工学分野で使われる有限体積法などを挙げることができる。これらの手法は関数解析学の定理などに基づいている。これら各種の離散化近似手法により生じた有限自由度の連立代数関係式を何らかの手段で解くことで、求めたい微分方程式の解の近似を得る。
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微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/13 23:33 UTC 版)
ある種の微分方程式系（slow-fast系）において、系のパラメータを微小に変化させたとき、ある特異な振る舞いをする解（の一種）をアヒル解（duck solution）と呼ぶ。M. Dienerは、超準解析を用いてある種のslow-fact系のアヒル解の存在証明を与えた。この技法に触発され様々なアヒル解の存在証明が与えられている。 超冪構成は、非線形の微分方程式の研究に用いられる、コロンボ超関数の構成にも用いられる。この理論では単に超冪構成が用いられているのみならず、内的集合や飽和原理といった、超準解析的なツールが有効に用いられている。コロンボの理論は超準解析に基づく再解釈もなされている。
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微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)
( x , y , y 1 , … , y n ) {\displaystyle (x,\ y,\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n})} を変数とする多項式 F ( x , y , y 1 , … , y n ) {\displaystyle F(x,\ y,\ y_{1},\ \ldots ,\ y_{n})} に対し、 F ( x , y , y 1 , ⋯ , y n ) = 0 , y i = d i y d x i ( i = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle F(x,y,y_{1},\cdots ,y_{n})=0,\quad y_{i}={\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}\quad (i=1,\cdots ,n)} の形で表される微分方程式を代数的微分方程式という。ガンマ関数はいかなる代数的微分方程式も満たさないことが知られている。ヘルダーが1887年に最初に証明を与えた後、E. H. ムーア、A. オストロフスキ（英語版）、E. バーンズ（英語版）、ハウスドルフにより、別証明や一般化がなされた。
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微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/29 13:52 UTC 版)
詳細は「LTIシステム理論」を参照 数学的に同値なこの微分方程式の数理全般については「指数関数的減衰」を参照 1次の線型系を次の微分方程式で表す。 d V ( t ) d t = − α V ( t ) {\displaystyle {dV(t) \over dt}=-\alpha V(t)} ここで αは指数減少係数を表し、V (t ) は時間t の関数である。時定数τは指数減少係数αに関係している。 τ = 1 α {\displaystyle \tau ={1 \over \alpha }}
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微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/29 05:08 UTC 版)
微分方程式が線型である場合は線型代数学の範疇で解を探すことができる。一方で、線型でない（非線型の）場合には、たとえばカオスのような問題が現れ、解くことが飛躍的に難しくなる。しかし、それゆえに、またパンルヴェ方程式のようにある種の対称性をもち、幾何学的に多様な性質を内包するものが存在するなどの理由により、数学者や物理学者などにとって興味深い対象が数多く存在するのも非線型微分方程式である
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微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/09 02:15 UTC 版)
「ヴァイエルシュトラスの楕円函数」の記事における「微分方程式」の解説
不変量を用いて、ペー函数は以下の微分方程式 [ ℘ ′ ( z ) ] 2 = 4 [ ℘ ( z ) ] 3 − g 2 ℘ ( z ) − g 3 {\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}} を満足する。これは周期対 ω1, ω2 の取り方に依存して統制される。 この関係式は両辺の極を比べれば直ちに確かめられる。例えば、左辺の z = 0 における極は [ ℘ ′ ( z ) ] 2 | z = 0 ∼ 4 z 6 − 24 z 2 ∑ 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 4 − 80 ∑ 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 6 {\displaystyle [\wp '(z)]^{2}|_{z=0}\sim {\frac {4}{z^{6}}}-{\frac {24}{z^{2}}}\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{4}}}-80\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{6}}}} であり、右辺第一項の z = 0 における極は [ ℘ ( z ) ] 3 | z = 0 ∼ 1 z 6 + 9 z 2 ∑ 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 4 + 15 ∑ 1 ( m ω 1 + n ω 2 ) 6 {\displaystyle [\wp (z)]^{3}|_{z=0}\sim {\frac {1}{z^{6}}}+{\frac {9}{z^{2}}}\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{4}}}+15\sum {\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{6}}}} で、これらを比較して上記の関係式を得る。
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微分方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/11 22:15 UTC 版)
下の偏微分方程式の（初期値）境界値問題を例に考える。 L y ( x ) = − f ( x ) x ∈ Ω y ( x ) = y 1 ¯ x ∈ Γ 1 ∂ y ( x ) ∂ n = y 2 ¯ x ∈ Γ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} y({\boldsymbol {x}})&=-f({\boldsymbol {x}})&{\boldsymbol {x}}&\in \Omega \\y({\boldsymbol {x}})&={\bar {y_{1}}}&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{1}\\{\frac {\partial y({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}&={\bar {y_{2}}}&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{2}\end{aligned}}} ここで、 L {\displaystyle \mathrm {L} } は微分作用素、 Ω {\displaystyle \Omega } は領域であり、領域の境界 Γ {\displaystyle \Gamma } は、 y 1 ¯ {\displaystyle {\bar {y_{1}}}} が規定されている境界 Γ 1 {\displaystyle \Gamma _{1}} と、 ∂ y / ∂ n {\displaystyle \partial y/\partial n} が規定されている境界 Γ 2 {\displaystyle \Gamma _{2}} からなり、 Γ 1 ∪ Γ 2 = Γ {\displaystyle \Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}=\Gamma } 、 Γ 1 ∩ Γ 2 = ϕ {\displaystyle \Gamma _{1}\cap \Gamma _{2}=\phi } であるものとする。また、 n {\displaystyle n} は境界での外向き法線方向を示す。 上記の問題に対するグリーン関数 G ( x , x ′ ) {\displaystyle G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x'}})} とは次の条件を満たす関数のことである。 L G ( x , x ′ ) = − δ ( x − x ′ ) x ∈ Ω G ( x , x ′ ) = 0 x ∈ Γ 1 ∂ G ( x , x ′ ) ∂ n = 0 x ∈ Γ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}')&=-\delta ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}')&{\boldsymbol {x}}&\in \Omega \\G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}')&=0&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{1}\\{\frac {\partial G({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {x}}')}{\partial n}}&=0&{\boldsymbol {x}}&\in \Gamma _{2}\end{aligned}}} ここに、x′ はソース点の位置を表す。 無限領域におけるグリーン関数を基本解という。 境界が単純（無限領域、半無限領域、無限平板領域など）でない場合にはグリーン関数を解析的に求めるのは大変困難である。
※この「微分方程式」の解説は、「グリーン関数」の解説の一部です。
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微分方程式
出典:『Wiktionary』 (2021/11/25 00:20 UTC 版)
名詞
派生語
翻訳
「微分方程式」の例文・使い方・用例・文例
- 微分方程式
- 微分方程式を解くよう考案されたアナログコンピュータ
- 微分方程式や測定範囲、または体積における方程式の解での積分やその応用を処理する微積分学の一部
- 電磁場の古典特性をまとめる4つの微分方程式
- 2つ以上の変数の関数を含む微分方程式
- 媒介物を通る調和波動の経過を記述する微分方程式
- 一連の微分方程式の解の条件として指定される条件
- 微分方程式における階数
- 境界条件という,微分方程式の解を一意的に定めるための条件
- 微分方程式において,境界値という数値
- 積分定数という,不定積分や微分方程式の解を求める際に現われる定数
- 微分方程式という導函数を含む方程式
- 求積法という,微分方程式の解を求める方法
微分方程式と同じ種類の言葉
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