微分形式のリー微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/13 19:59 UTC 版)
リー微分は、微分形式に対しても定義することができる。この文脈でのリー微分は外微分と近い関係にあり、リー微分と外微分はともに異なる方法で一つの同じ微分概念を捉える試みであると考えられる。この違いは反微分 (antiderivation) あるいは同じことだが内部積 (interior product) の概念を導入することで埋めることができ、いくつかの恒等式の組としてこれらの関係を抽出することができる。 M を多様体、X を M 上のベクトル場とする。ω ∈ ∧k+1(M) を M 上の k + 1 次微分形式とする。ω に対し、X による内部積 iXω は ( i X ω ) ( X 1 , … , X k ) = ( k + 1 ) ω ( X , X 1 , … , X k ) {\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=(k+1)\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})} によって定義される。このとき、iX は i X : ⋀ k + 1 ( M ) → ⋀ k ( M ) {\displaystyle i_{X}\colon \bigwedge \nolimits ^{k+1}(M)\to \bigwedge \nolimits ^{k}(M)} なる、∧-反微分になる。つまり iX は線型かつウェッジ積 ∧ に対して i X ( ω ∧ η ) = ( i X ω ) ∧ η + ( − 1 ) k ω ∧ ( i X η ) {\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )} を満たす。ここで、ω ∈ ∧k(M) および微分形式 η は任意。もちろん、M 上の任意の実または複素数値の関数を 0 次微分形式 f ∈ ∧0(M) と見なして i f X ω = f i X ω {\displaystyle i_{fX}\omega =fi_{X}\omega } が従う。外微分とリー微分の関係は以下のようにまとめられる。まず通常の関数 f に対しては、そのリー微分はベクトル場 X に関する外微分の縮約 L X f = i X d f {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}df} である。一般の微分形式 ω に対しても、同様にそのリー微分は X の変分を考慮にいれた縮約 L X ω = i X d ω + d ( i X ω ) {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega )} . である。また、積の微分法則は L f X ω = f L X ω + d f ∧ i X ω {\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega } によって与えられる。
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