ベクトル場

デジタル大辞泉

ベクトル‐ば【ベクトル場】

読み方：べくとるば

空間の任意の各点にベクトル量が与えられた場。物理学における電磁場や重力場のほか、地上の各点における風向・風速もベクトル場と見なせる。

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ベクトル場

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/09/28 08:44 UTC 版)

ベクトル場（ベクトルば、英: vector field）とは、数学において、幾何学的な空間の広がりの中でベクトル的な量の分布を表すものである。単純化された設定のもとではベクトル場はユークリッド空間 Rⁿ （またはその開集合）からベクトル空間 Rⁿ への関数として与えられる。（局所的な）座標系のもとでベクトル場を表示するときは座標に対してベクトルを与えるような関数を考えることになるが、座標系を変更したときにこの関数は一定の規則に従って変換を受けることが要請される。

ベクトル場の概念は物理学や工学においても積極的にもちいられ、例えば動いている流体の速さと向きや、磁力や重力などの力の強さと向きなどが空間的に分布している状況を表すために用いられている。

現代数学では多様体論にもとづき、多様体上の接ベクトル束の断面として（接）ベクトル場が定義される。

定義

M を n 次元の多様体（あるいは、同値なことだが、ユークリッド空間 R^m の部分集合で局所的には自由度 n の座標が入るようなもの）とするとき、M 上のベクトル場 X は写像 V: M → R^m で次の条件を満たすものとして定義される。

p を M の任意の点とし、p のまわりに二種類の座標系 (x₁, ..., x_n)、(y₁, ..., y_n) が考えられるとする。座標系 (x₁, ..., x_n) にもとづく V の表示を V_x （これは n 変数の n 次元ベクトル値関数である）、座標系 (y₁, ..., y_n) にもとづく V の表示を V_y （これも n 変数の n 次元ベクトル値関数である）とするとき、 $V_{x}={\frac {\partial x}{\partial y}}V_{y}$

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ベクトル場

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/12/02 20:00 UTC 版)

「円柱座標変換」の記事における「ベクトル場」の解説

x -y -z 空間で定義されたベクトル場X をx -y -z 座標系について表示すると X ( x , y , z ) = ( X x ( x , y , z ) X y ( x , y , z ) X z ( x , y , z ) ) (4-1-1) { X r = X ⋅ N r X θ = X ⋅ N θ X ζ = X ⋅ N z {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{{X}_{r}}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{r}}\\{{X}_{\theta }}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{\theta }}\\{{X}_{\zeta }}=\mathbf {X} \cdot {{\mathbf {N} }_{z}}\\\end{matrix}}\right.} (4-1-2) { X r ( r , θ , ζ ) = X ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ⋅ N r ( r , θ , ζ ) X θ ( r , θ , ζ ) = X ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ⋅ N θ ( r , θ , ζ ) X ζ ( r , θ , ζ ) = X ( Φ ( r , θ , ζ ) ) ⋅ N ζ ( r , θ , ζ ) {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}X_{r}(r,\theta ,\zeta )=\mathbf {X} \left(\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)\cdot {\mathbf {N} _{r}}(r,\theta ,\zeta )\\X_{\theta }(r,\theta ,\zeta )=\mathbf {X} \left(\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)\cdot {\mathbf {N} _{\theta }}(r,\theta ,\zeta )\\X_{\zeta }(r,\theta ,\zeta )=\mathbf {X} \left(\Phi (r,\theta ,\zeta )\right)\cdot {\mathbf {N} _{\zeta }}(r,\theta ,\zeta )\end{matrix}}\right.} (4-1-3) である。ここで、・は内積を意味する。定義式(4-1-3)から明らかなように、これらの定義域はr -θ-ζ空間全域（r = 0 となる点を含む）である。 ここで以下が成立する。” ∘ {\displaystyle \circ } ”は、合成関数の意味である。 { X r = ( X x ∘ Φ ) cos ⁡ θ + ( X y ∘ Φ ) sin ⁡ θ X θ = − ( X x ∘ Φ ) sin ⁡ θ + ( X y ∘ Φ ) cos ⁡ θ X ζ = X z ∘ Φ {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{X}_{r}}=({X}_{x}\circ \Phi )\cos \theta +({X}_{y}\circ \Phi )\sin \theta \\{{X}_{\theta }}=-({X}_{x}\circ \Phi )\sin \theta +({X}_{y}\circ \Phi )\cos \theta \\{{X}_{\zeta }}={{X}_{z}\circ \Phi }\\\end{array}}\right.} (4-1-4) { X x ∘ Φ = X r cos ⁡ θ − X θ sin ⁡ θ X y ∘ Φ = X r sin ⁡ θ + X θ cos ⁡ θ X z ∘ Φ = X ζ {\displaystyle \left\{{\begin{array}{*{35}{l}}{{X}_{x}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\cos \theta -{{X}_{\theta }}\sin \theta \\{{X}_{y}}\circ \Phi ={{X}_{r}}\sin \theta +{{X}_{\theta }}\cos \theta \\{{X}_{z}}\circ \Phi ={{X}_{\zeta }}\\\end{array}}\right.} (4-1-5) が分かる。 また、次の等式がr = 0 となる点を含むすべての (r , θ, ζ) に対して成立する。 X ( Φ ( r , θ , z ) ) = ( X r N r ) ( r , θ , z ) + ( X θ N θ ) ( r , θ , z ) + ( X z N z ) ( r , θ , z ) {\displaystyle \mathbf {X} (\Phi (r,\theta ,z))=({{X}_{r}}{{\mathbf {N} }_{r}})(r,\theta ,z)+({{X}_{\theta }}{{\mathbf {N} }_{\theta }})(r,\theta ,z)+({{X}_{z}}{{\mathbf {N} }_{z}})(r,\theta ,z)} (4-1-6) 式(4-1-6)を、ベクトル場の円柱座標表示という。より正確な言い方をすると、「x -y -z 空間で定義されたベクトル場X の円柱座標表示」という。