ベクトル場に対する操作
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:02 UTC 版)
「ベクトル場」の記事における「ベクトル場に対する操作」の解説
ベクトルについての加法や減法、定数倍などの操作を各点ごとに考えることでこれらの操作がベクトル場についても定義される。特に、連続関数fとベクトル場Xについて各点ごとの積fXを考えることができる。 多様体 M にリーマン計量 g が与えられているとする。f が M 上の微分可能関数のとき、 g ( Y , grad f ) = Y ( f ) {\displaystyle g(Y,\operatorname {grad} f)=Y(f)} で特徴づけられるようなベクトル場 grad f を考えることができるが、これは（g に関する）勾配 grad f とよばれる。 R3上のベクトル場X = (x1, x2, x3): R3 → R3に対してその発散 div X = ∇ ⋅ X := ∂ X 1 ∂ x + ∂ X 2 ∂ y + ∂ X 3 ∂ z {\displaystyle \operatorname {div} \,{\boldsymbol {X}}=\nabla \cdot {\boldsymbol {X}}:={\frac {\partial X_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial X_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial X_{3}}{\partial z}}} や回転 rot X = ∇ × X := [ ∂ X 3 ∂ y − ∂ X 2 ∂ z ∂ X 1 ∂ z − ∂ X 3 ∂ x ∂ X 2 ∂ x − ∂ X 1 ∂ y ] {\displaystyle \operatorname {rot} \,{\boldsymbol {X}}=\nabla \times X:={\begin{bmatrix}\displaystyle {\frac {\partial X_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial X_{2}}{\partial z}}\\[1em]\displaystyle {\frac {\partial X_{1}}{\partial z}}-{\frac {\partial X_{3}}{\partial x}}\\[1em]\displaystyle {\frac {\partial X_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial X_{1}}{\partial y}}\end{bmatrix}}} が定義される。多様体論の枠組みでは、これらはR3上の接ベクトル場に対する操作というよりも、2次微分形式や1次微分形式に対する外微分として自然に理解される。
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