接ベクトル
接ベクトル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/07 06:28 UTC 版)
1 ≤ r ≤ ∞ とする。 m 次元 Cr 級多様体 M とその上の点 p を考える。 p を含む座標近傍 (U;x1,…,xm) 上で定義された微分作用素 ( ∂ ∂ x i ) p , 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)_{p},1\leq i\leq m} は方向微分になる。この m 個の方向微分は線型独立であり、これらの線型結合 ∑ i = 1 m a i ( ∂ ∂ x i ) p {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)_{p}} （ただし ai ∈ R (1 ≤ i ≤ m) ） を、 p における M の接ベクトル (tangent vector) といい、接ベクトルの全体を Tp(M) と書き、 p における M の接ベクトル空間 (tangent vector space) あるいは 接空間 (tangent space) という。接ベクトル空間 Tp(M) は Drp(M) の線型部分空間である。 Tp(M) ⊆ Drp(M) この等号が成り立つのは、 M が C∞ 級多様体（滑らかな多様体）であるときに限る。 接ベクトルの定義において、係数 {ai ∈ R} をどのような組み合わせでとってもその接ベクトルに対する p を通る曲線 φ が存在する。逆に p を通る Cr 曲線 φ に対して定められた方向微分 vφ は接ベクトルになる。 見かけは局所座標系に依存しているように見える定義も、局所座標に依存しないベクトルとして定まっている。 p を含む別の座標近傍 (V;y1,…,ym) を取り、座標変換を考え ( ∂ ∂ x i ) p = ∑ j = 1 m ∂ y j ∂ x i ( p ) ( ∂ ∂ y j ) p {\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)_{p}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}(p)\left({\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)_{p}} を用いれば、接ベクトルは ∑ i = 1 m a i ( ∂ ∂ x i ) p = ∑ i = 1 m a i { ∑ j = 1 m ∂ y j ∂ x i ( p ) ( ∂ ∂ y j ) p } = ∑ j = 1 m { ∑ i = 1 m a i ∂ y j ∂ x i ( p ) } ( ∂ ∂ y j ) p {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{i}\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)_{p}=\sum _{i=1}^{m}a_{i}\left\{\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}(p)\left({\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)_{p}\right\}=\sum _{j=1}^{m}\left\{\sum _{i=1}^{m}a_{i}{\frac {\partial y_{j}}{\partial x_{i}}}(p)\right\}\left({\frac {\partial }{\partial y_{j}}}\right)_{p}} という計算によって ∑ i = 1 m b i ( ∂ ∂ y i ) p {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}b_{i}\left({\frac {\partial }{\partial y_{i}}}\right)_{p}} （ただし bi ∈ R (1 ≤ i ≤ m) ） の形に変換できる。
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