ベクトル場に対する共変微分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:14 UTC 版)
「共変微分」の記事における「ベクトル場に対する共変微分」の解説
M 上のベクトル場に対する共変微分 (covariant derivative) とは、写像 ∇ : X ( M ) × X ( M ) → X ( M ) ; ( X , Y ) ⟼ ∇ X Y {\displaystyle \nabla \colon {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M);\;\;(X,Y)\longmapsto \nabla _{X}Y} であって、次の四条件 ∇ X ( Y 1 + Y 2 ) = ∇ X Y 1 + ∇ X Y 2 {\displaystyle \nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2})=\nabla _{X}Y_{1}+\nabla _{X}Y_{2}} ∇ ( X 1 + X 2 ) Y = ∇ X 1 Y + ∇ X 2 Y {\displaystyle \nabla _{(X_{1}+X_{2})}Y=\nabla _{X_{1}}Y+\nabla _{X_{2}}Y} （双線型性） ∇ f X Y = f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y} ∇ X ( f Y ) = ( X f ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y} （ライプニッツ則） を満たすものを言う。なお、共変微分は可微分多様体の接続 (connection) の条件とみなせることから、 ∇ {\displaystyle \nabla } は M 上のアフィン接続 (affine connection) とも呼ばれる。
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