アフィン接続
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数学の一分野である微分幾何学において、アフィン接続(アフィンせつぞく、affine connection)は、滑らかな多様体上の幾何学的対象の一種。周辺の接空間が〈接続〉されることにより、接ベクトル場が——固定されたベクトル空間に値を持つ函数のように——微分できるようになる。アフィン接続の考え方は、19世紀の幾何学とテンソル解析に由来するが、1920年代初頭にエリ・カルタンやヘルマン・ワイルが（カルタン接続という一般理論や一般相対論の基礎付けの為に）研究するまでは十分に発展されなかった。用語はカルタンによるもので、ユークリッド空間 Rn 内の接空間を平行移動によって同一視することに由来する。アフィン接続を指定することで、多様体が無限小で滑らかなだけでなくアフィン空間としてユークリッド空間のようになるということである。
- ^ Weyl 1918, 5 editions to 1922.
- ^ Cartan 1923.
- ^ 結果として、多くの数学者たちは、平行移動が線型でありアフィンではないということに基づいており、接バンドル上の接続のことを（アフィン接続の代わりに）線型接続という用語を使用している。しかし、同じ性質がベクトルバンドル上の任意の（Koszul、あるいは線型エーレスマン）接続に対して成り立つ。元来、アフィン接続という用語は、カルタンの意味でのアフィンカルタン接続を短くしたものであり、このことは接続はベクトルバンドルというより、任意の接バンドル上で定義される。線型カルタン接続の考えは、実際は、線型表現が推移的ではないので、それ以上の意味を持っているわけではない。
- ^ Cartan 1926.
- ^ It is difficult to make Cartan's intuition precise without invoking smooth infinitesimal analysis, but one way is to regard his points being variable, that is maps from some unseen parameter space into the manifold, which can then be differentiated.
- ^ 古典的には、接空間は、無限小近似と見られていたが、一方、現代の微分幾何学では、接空間は微分のような微分した対象の言葉で定義されることが多い（Kobayashi & Nomizu 1996, Volume 1, sections 1.1–1.2を参照。
- ^ 詳しくは、Ü. Lumiste (2001b) を参照。次の直感的な扱いは、Cartan (1923) や Cartan (1926) での扱いである。
- ^ これは原点の選択と見ることができ、実際、p=ax である場合を考えるだけで充分であり、カルタンは暗にこれを M の中の x と同一視していた。
- ^ Cf. R. Hermann (1983), Appendix 1–3 to Cartan (1951), and also Sharpe (1997).
- ^ この発展の扱いは、Kobayashi & Nomizu (1996, Volume 1, Proposition III.3.1) から取っている。さらに詳しくは section III.3 により幾何学的な記載がある。Sharpe (1997) には他の幾何学的状況下での発展に関する議論が記載されている。
アフィン接続
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「一般相対性理論の数学」の記事における「アフィン接続」の解説
詳細は「アフィン接続」を参照 時空の曲率は、ある点でのベクトルをとり、時空上の曲線に沿って平行移動することにより特徴付けることができる。アフィン接続はベクトルを、その方向を変えることなしに多様体上の曲線に沿って移動させる合理的方法を記述する規則である。 定義により、アフィン接続は双線型写像 Γ ( T M ) × Γ ( T M ) → Γ ( T M ) {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (TM)\times \Gamma (TM)\;\rightarrow \;\Gamma (TM)} である。ここに Γ ( T M ) {\displaystyle \scriptstyle \,\Gamma (TM)} は時空上のすべてのベクトル場の空間である。この双線型写像は接続係数（クリストッフェル記号として知られてもいる）のことばで記述することができる。これは無限小平行移動の下で基底ベクトルの成分に起きる変化を、 ∇ e i e j = Γ j i k e k {\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\Gamma _{ji}^{k}e_{k}} と表す。この見た目にもかかわらず、接続係数は、テンソルの成分ではない。 一般的には、時空の各々の点でD3 個の独立な接続係数が存在する。 Γ j i k = Γ i j k {\displaystyle \scriptstyle \Gamma _{ji}^{k}\;=\;\Gamma _{ij}^{k}} であるとき、接続は対称、または捩れがないという。対称な接続は、高々、.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1⁄2D2(D + 1) 個の独立な係数からなる。 任意の曲線 γ {\displaystyle \scriptstyle \gamma } とこの曲線上の2点 A = γ ( 0 ) , B = γ ( t ) {\displaystyle \scriptstyle A\;=\;\gamma (0),\,B\;=\;\gamma (t)} に対して、アフィン接続は、A の接空間のベクトルから B の接空間のベクトルへの写像をもたらす。 X ( t ) = Π 0 , t , γ X ( 0 ) {\displaystyle X(t)\,=\Pi _{0,t,\gamma }X(0)} そして X ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \,X(t)} は、微分方程式 d d t X i ( t ) = ∇ C ( t ) X i ( t ) = Γ j k i X j ( t ) C k ( t ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}X^{i}(t)=\nabla _{C(t)}X^{i}(t)=\Gamma _{jk}^{i}X^{j}(t)C^{k}(t)} を解くことにより成分毎に計算することができる。ここに、 C j ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \,C^{j}(t)} は、点 γ ( t ) {\displaystyle \scriptstyle \gamma (t)} での曲線に接するベクトルである。 一般相対性理論で重要なアフィン接続はレヴィ・チヴィタ接続であり、レヴィ・チヴィタ接続は、曲線にそって定数であるベクトルの内積を保つような接ベクトルの平行移動から得られる対称接続である。その結果得られる接続係数（クリストッフェル記号）は、計量から直接計算（英語版）することができる。このことから、この接続はしばしば計量接続とも呼ばれる。
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