微分作用素としての定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/21 09:18 UTC 版)
「アフィン接続」の記事における「微分作用素としての定義」の解説
「共変微分」および「接続 (主バンドル)」も参照 M を滑らかな多様体、C∞(M,TM) を M 上のベクトル場の空間、つまり、接バンドル TM の滑らかな切断の空間とすると、M 上のアフィン接続 (affine connection) は、すべての C∞(M,R) の滑らかな函数 f とすべての M 上のベクトル場 X, Y に対し次の 2項目が成り立つような双線型写像 C ∞ ( M , T M ) × C ∞ ( M , T M ) → C ∞ ( M , T M ) ( X , Y ) ↦ ∇ X Y , {\displaystyle {\begin{matrix}C^{\infty }(M,TM)\times C^{\infty }(M,TM)&\rightarrow &C^{\infty }(M,TM)\\(X,Y)&\mapsto &\nabla _{X}Y,\end{matrix}}} である。 ∇ f X Y = f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y} つまり、∇ は第一変数について C∞(M,R)-線型である。 ∇ X ( f Y ) = d f ( X ) Y + f ∇ X Y {\displaystyle \nabla _{X}(fY)=\mathrm {d} f(X)Y+f\nabla _{X}Y} つまり、∇ は第二変数についてライプニッツ則を満たす。
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