微分トポロジー

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微分位相幾何学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/10 20:08 UTC 版)

微分位相幾何学（びぶんいそうきかがく）もしくは微分トポロジー（英語：differential topology）は、多様体の微分可能構造に注目する幾何学の一分野。微分可能構造という位相のみでは決まらないものを扱うため純粋な位相幾何学として扱うのは難しい部分もあるが,位相が与えられている多様体の微分可能構造つまり微積分ができるような構造を調べるということで位相多様体を調べるもので,微分可能構造まで込めた多様体に距離や曲率を定めて研究を行う微分幾何学に比べ自由度は高いことから位相幾何学であるとされている。解析学や微分幾何学と位相幾何学の学際研究が非常に有益なことは初期から知られており、局所的な性質を扱う微分幾何学と大域的な性質を扱う位相幾何学の対照的な2分野による多様体の研究は双方の発展を促した。古くはフェリックス・クラインやアンリ・ポアンカレまで遡れ、現在微分位相幾何学と呼ばれているものはルネ・トムやジョン・ミルナーといった数学者によって創り出された。

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微分トポロジー

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/10 07:31 UTC 版)

「埋め込み (数学)」の記事における「微分トポロジー」の解説

微分トポロジーにおいて：M と N を滑らかな多様体とし、f: M → N を滑らかな写像とする。このとき f がはめ込みとは、微分がいたるところ単射であることをいう。埋め込み (embedding)、あるいは滑らかな埋め込み (smooth embedding) は、上に述べた位相的な意味で埋め込みであるような（すなわち像の上への同相写像であるような）単射はめ込みと定義される。 言い換えると、埋め込みは像への微分同相であり、とくに埋め込みの像は部分多様体でなければならない。はめ込みは局所的な埋め込みである（すなわち任意の点 x ∈ M に対し、近傍 x ∈ U ⊂ M が存在して、f: U → N は埋め込みである）。