微分作用素
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数学における微分作用素（びぶんさようそ、differential operator）は、微分演算 (D = d⁄dx) の函数として定義された作用素である。ひとまずは表記法の問題として、微分演算を（計算機科学における高階函数と同じ仕方で）入力函数に別の函数を返す抽象的な演算と考えるのが有効である。
本項では、最もよく扱われる種類である線型作用素を主に扱う。しかし、シュヴァルツ微分のような非線型微分作用素も存在する。
定義
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微分作用素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「微分作用素」の解説
量子力学で登場する代表的なオブザーバブルは、いずれも偏微分を用いて表現できるので、まず本節では微分作用素の定義と性質を述べる。 定義 (微分作用素) ― 非負整数α1、…、αd≧0からなるベクトル(α1、…、αd)に対し、 | α | := α 1 + ⋯ + α d {\displaystyle |\alpha |:=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{d}} ∂ α := ∂ | α | ∂ α 1 x 1 ⋯ ∂ α d x d {\displaystyle \partial ^{\alpha }:={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial ^{\alpha _{1}}x_{1}\cdots \partial ^{\alpha _{d}}x_{d}}}} とする（この記法を多重指数表記という）。 D = ∑ α : | α | ≤ m ψ α ( x ) ∂ α {\displaystyle D=\sum _{\alpha ~:~|\alpha |\leq m}\psi _{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }} の形で書ける作用素をm次の微分作用素という。ここで添え字αは非負整数の組で、和は有限和であり、ψα(x)はRd上の複素数値の局所自乗可積分な関数である。なおDの定義において、α1=…=αd=0の項 ψ 0 ( x ) ∂ 0 {\displaystyle \psi _{0}(x)\partial ^{0}} はψ0(x)倍する演算子とみなす。 本節の目標は、微分作用素Dのうち性質の良いものを H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} 上定義されたオブザーバブルとみなす事である。しかしそもそも偏微分 ∂ ∂ x j ψ ( x ) {\displaystyle {\partial \over \partial x_{j}}\psi (x)} は ψ ( x ) ∈ L 2 ( R d ) {\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} が可微分でなければそもそも定義できないので、単純にDを H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} の元に作用させることはできない。そこで以下の事実を用いる： 定義・定理 (C∞0(Rd)の L 2 ( R d ) {\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} における稠密性) ― H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} の部分集合C∞0(Rd)を C 0 ∞ ( R d ) = { ψ ( x ) : R d → C , {\displaystyle C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{d})=\{\psi (x):\mathbf {R} ^{d}\to \mathbf {C} ~,} C∞級関数 s.t. ある有界閉集合Kが存在し、ψはRd＼K上で恒等的に0である } {\displaystyle \}} と定義すると次が成立する： C∞0(Rd)は H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} の稠密部分集合である新井(p43) 微分作用素DはC∞0(Rd)上で明らかに定義可能であり、しかもC∞0(Rd)の元をL2(Rd)に写すので、以下の系が従う： 系 ― 微分作用素Dを H = L 2 ( R d ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} 上稠密に定義された線形作用素とみなす事ができる。
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