擬微分作用素の環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/05 08:29 UTC 版)
微分環および微分多元環 R は、しばしばそれらの上の擬微分作用素の環 R ( ( ξ − 1 ) ) = { ∑ n < ∞ r n ξ n : r n ∈ R } {\displaystyle R((\xi ^{-1}))={\biggl \{}\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}:r_{n}\in R{\biggr \}}} を通じて研究される。この環の上に乗法は、 ( r ξ m ) ( s ξ n ) = ∑ k = 0 m r ( ∂ k s ) ( m k ) ξ m + n − k {\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}} で定義される。 ( m k ) {\textstyle {m \choose k}} は二項係数である。 ここで、恒等式 ξ − 1 r = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( ∂ n r ) ξ − 1 − n {\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}} には恒等式 ( − 1 n ) = ( − 1 ) n {\textstyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}} および r ξ − 1 = ∑ n = 0 ∞ ξ − 1 − n ( ∂ n r ) {\textstyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r)} が用いられていることに注意。
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