微分多元環
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/05 08:29 UTC 版)
体 K 上の微分多元環は、スカラー乗法と両立する微分を備えた K-多元環 A を言う。すなわち、各微分 ∂ は係数体と元ごとに可換: k ∈ K ⟹ ∂ ( k x ) = k ∂ x ( ∀ x ∈ A ) {\displaystyle k\in K\implies \partial (kx)=k\partial x\quad (\forall x\in A)} である。これは作用素のレベルでは、スカラー乗法を定義する環準同型 η: K → A を用いて ∂ ∘ M ∘ ( η × id ) = M ∘ ( η × ∂ ) {\textstyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {id} )=M\circ (\eta \times \partial )} と書ける リー環上の微分 体 K 上のリー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の微分 ∂ とは、K-線型写像 ∂ : g → g {\textstyle \partial \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} であって、リー括弧積に関するライプニッツ則 ∂ ( [ a , b ] ) = [ a , ∂ ( b ) ] + [ ∂ ( a ) , b ] {\displaystyle \partial ([a,b])=[a,\partial (b)]+[\partial (a),b]} を満たすものをいうのであった。任意の a ∈ g {\displaystyle a\in {\mathfrak {g}}} に対し ad(a): x ↦ [a, x]（つまり ad はリー環の随伴表現）が g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 上の微分となることはヤコビの等式による。このように得られる微分を、リー環 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} の内部微分と呼ぶ。 リー環の内部微分を、その普遍包絡環へ延長して、普遍包絡環を微分多元環とすることができる。
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