等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/07 14:06 UTC 版)
- Weisstein, Eric W. "Equality". mathworld.wolfram.com (英語).
- equality - PlanetMath.（英語）
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等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/22 08:41 UTC 版)
t-区間 [a, b] 上の二階線型微分方程式系 ( p i ( t ) x i ′ ) ′ + q i ( t ) x i = 0 , x i ( a ) = 1 , x i ′ ( a ) = R i {\displaystyle (p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}\,} の n {\displaystyle n} 個の解を考える。ただし i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,2,\ldots ,n} である。 Δ {\displaystyle \Delta } は前進差分を表す作用素、すなわち Δ x i = x i + 1 − x i {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}} で与えられる作用素とする。二次の差分作用素は、この一次の作用素を Δ 2 ( x i ) = Δ ( Δ x i ) = x i + 2 − 2 x i + 1 + x i {\displaystyle \Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i}} のように繰り返すことで得られ、より高次の差分についても同様に定義される。 以下では簡単のために独立変数 t を省略し、(a, b] 上では x i ( t ) ≠ 0 {\displaystyle x_{i}(t)\neq 0} が成立するものとする。このとき、次の等式が成り立つ： x n − 1 2 Δ n − 1 ( p 1 r 1 ) ] a b = ∫ a b ( x n − 1 ′ ) 2 Δ n − 1 ( p 1 ) − ∫ a b x n − 1 2 Δ n − 1 ( q 1 ) − ∑ k = 0 n − 1 C ( n − 1 , k ) ( − 1 ) n − k − 1 ∫ a b p k + 1 W 2 ( x k + 1 , x n − 1 ) / x k + 1 2 , {\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}} ここで r i = x i ′ / x i {\displaystyle r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}} は対数微分であり、 W ( x i , x j ) = x i ′ x j − x i x j ′ {\displaystyle W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }} はロンスキアン、 C ( n − 1 , k ) {\displaystyle C(n-1,k)} は二項係数を表す。 n = 2 {\displaystyle n=2} のとき、この等式はピコーンの等式となる。 上の等式は三つの線型微分方程式に対して、ただちに以下の比較定理を導く。これはスツルム＝ピコーンの比較定理の拡張である。 p i , q i , {\displaystyle p_{i},\,q_{i},\,} i = 1, 2, 3 を、区間 [a, b] 上の実数値連続関数とし、 ( p 1 ( t ) x 1 ′ ) ′ + q 1 ( t ) x 1 = 0 , x 1 ( a ) = 1 , x 1 ′ ( a ) = R 1 {\displaystyle (p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}\,} ( p 2 ( t ) x 2 ′ ) ′ + q 2 ( t ) x 2 = 0 , x 2 ( a ) = 1 , x 2 ′ ( a ) = R 2 {\displaystyle (p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}\,} ( p 3 ( t ) x 3 ′ ) ′ + q 3 ( t ) x 3 = 0 , x 3 ( a ) = 1 , x 3 ′ ( a ) = R 3 {\displaystyle (p_{3}(t)x_{3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}\,} を三つの自己随伴形式の二階同次線型微分方程式とし、 p i ( t ) > 0 {\displaystyle p_{i}(t)>0\,} が各 i および [a, b] 内のすべての t に対して成立するものとし、 R i {\displaystyle R_{i}} は任意の実数とする。 Δ 2 ( q 1 ) ≥ 0 {\displaystyle \Delta ^{2}(q_{1})\geq 0} , Δ 2 ( p 1 ) ≤ 0 {\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1})\leq 0} , Δ 2 ( p 1 ( a ) R 1 ) ≤ 0 {\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0} の成立を仮定する。このとき、[a, b] 上で x 1 ( t ) > 0 {\displaystyle x_{1}(t)>0} であり、 x 2 ( b ) = 0 {\displaystyle x_{2}(b)=0} であるなら、任意の解 x 3 ( t ) {\displaystyle x_{3}(t)} は [a, b] 内に少なくとも一つのゼロ点を持つ。
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