出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/01/22 08:41 UTC 版)
数学 の常微分方程式 の分野におけるマンガレリの等式 （マンガレリのとうしき、英 : Mingarelli identity ）とは、実領域におけるある線型微分方程式 の解が振動的 であるか非振動的 であるかを判別するための条件を与える定理で、フィリップ・ハートマン（英語版 ） により名付けられた[1] ピコーンの等式 を二つの微分方程式から三つあるいはそれ以上の二階微分方程式へと拡張するものである。ここでは最も基本的な形式のものを紹介する。
等式 t -区間 [a , b ] 上の二階線型微分方程式系
(
p
i
(
t
)
x
i
′
)
′
+
q
i
(
t
)
x
i
=
0
,
x
i
(
a
)
=
1
,
x
i
′
(
a
)
=
R
i
{\displaystyle (p_{i}(t)x_{i}^{\prime })^{\prime }+q_{i}(t)x_{i}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{i}(a)=1,\,\,x_{i}^{\prime }(a)=R_{i}\,}
n
{\displaystyle n}
i
=
1
,
2
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}
Δ
{\displaystyle \Delta }
Δ
x
i
=
x
i
+
1
−
x
i
{\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}}
Δ
2
(
x
i
)
=
Δ
(
Δ
x
i
)
=
x
i
+
2
−
2
x
i
+
1
+
x
i
{\displaystyle \Delta ^{2}(x_{i})=\Delta (\Delta x_{i})=x_{i+2}-2x_{i+1}+x_{i}}
以下では簡単のために独立変数 t を省略し、(a , b ] 上では
x
i
(
t
)
≠
0
{\displaystyle x_{i}(t)\neq 0}
[2]
x
n
−
1
2
Δ
n
−
1
(
p
1
r
1
)
]
a
b
=
∫
a
b
(
x
n
−
1
′
)
2
Δ
n
−
1
(
p
1
)
−
∫
a
b
x
n
−
1
2
Δ
n
−
1
(
q
1
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
C
(
n
−
1
,
k
)
(
−
1
)
n
−
k
−
1
∫
a
b
p
k
+
1
W
2
(
x
k
+
1
,
x
n
−
1
)
/
x
k
+
1
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}}
ここで
r
i
=
x
i
′
/
x
i
{\displaystyle r_{i}=x_{i}^{\prime }/x_{i}}
対数微分 であり、
W
(
x
i
,
x
j
)
=
x
i
′
x
j
−
x
i
x
j
′
{\displaystyle W(x_{i},x_{j})=x_{i}^{\prime }x_{j}-x_{i}x_{j}^{\prime }}
ロンスキアン 、
C
(
n
−
1
,
k
)
{\displaystyle C(n-1,k)}
二項係数 を表す。
n
=
2
{\displaystyle n=2}
ピコーンの等式 となる。
上の等式は三つの線型微分方程式に対して、ただちに以下の比較定理を導く[3] スツルム＝ピコーンの比較定理 の拡張である。
p
i
,
q
i
,
{\displaystyle p_{i},\,q_{i},\,}
i = 1, 2, 3 を、区間 [a , b ] 上の実数値連続関数とし、
(
p
1
(
t
)
x
1
′
)
′
+
q
1
(
t
)
x
1
=
0
,
x
1
(
a
)
=
1
,
x
1
′
(
a
)
=
R
1
{\displaystyle (p_{1}(t)x_{1}^{\prime })^{\prime }+q_{1}(t)x_{1}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{1}(a)=1,\,\,x_{1}^{\prime }(a)=R_{1}\,}
(
p
2
(
t
)
x
2
′
)
′
+
q
2
(
t
)
x
2
=
0
,
x
2
(
a
)
=
1
,
x
2
′
(
a
)
=
R
2
{\displaystyle (p_{2}(t)x_{2}^{\prime })^{\prime }+q_{2}(t)x_{2}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{2}(a)=1,\,\,x_{2}^{\prime }(a)=R_{2}\,}
(
p
3
(
t
)
x
3
′
)
′
+
q
3
(
t
)
x
3
=
0
,
x
3
(
a
)
=
1
,
x
3
′
(
a
)
=
R
3
{\displaystyle (p_{3}(t)x_{3}^{\prime })^{\prime }+q_{3}(t)x_{3}=0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x_{3}(a)=1,\,\,x_{3}^{\prime }(a)=R_{3}\,}
を三つの自己随伴形式 の二階同次線型微分方程式とし、
p
i
(
t
)
>
0
{\displaystyle p_{i}(t)>0\,}
a , b ] 内のすべての t に対して成立するものとし、
R
i
{\displaystyle R_{i}}
[a , b ] 内のすべての t に対して、
Δ
2
(
q
1
)
≥
0
{\displaystyle \Delta ^{2}(q_{1})\geq 0}
Δ
2
(
p
1
)
≤
0
{\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1})\leq 0}
Δ
2
(
p
1
(
a
)
R
1
)
≤
0
{\displaystyle \Delta ^{2}(p_{1}(a)R_{1})\leq 0}
の成立を仮定する。このとき、[a , b ] 上で
x
1
(
t
)
>
0
{\displaystyle x_{1}(t)>0}
x
2
(
b
)
=
0
{\displaystyle x_{2}(b)=0}
x
3
(
t
)
{\displaystyle x_{3}(t)}
a , b ] 内に少なくとも一つのゼロ点を持つ。
参考文献
Clark D.N., G. Pecelli, and R. Sacksteder (1981). Contributions to Analysis and Geometry . Baltimore, USA: Johns Hopkins University Press.
Mingarelli, Angelo B. (1979). “Some extensions of the Sturm–Picone theorem”. Comptes Rendus Math. Rep. Acad. Sci. Canada (Toronto, Ontario, Canada: The Royal Society of Canada) 1 (4) : 223–226.
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1}r_{1})]_{a}^{b}&=\int _{a}^{b}(x_{n-1}^{\prime })^{2}\Delta ^{n-1}(p_{1})-\int _{a}^{b}x_{n-1}^{2}\Delta ^{n-1}(q_{1})-\sum _{k=0}^{n-1}C(n-1,k)(-1)^{n-k-1}\int _{a}^{b}p_{k+1}W^{2}(x_{k+1},x_{n-1})/x_{k+1}^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b3b7f8e7f9192e1dd9e51512ded46fbe26a7d9)
