対数微分
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対数微分
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無限乗積表示 ϑ 1 ( v , τ ) = 2 e π i τ / 4 sin π v ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) ( 1 − e 2 m π i τ e 2 π i v ) ( 1 − e 2 m π i τ e − 2 π i v ) {\displaystyle \vartheta _{1}(v,\tau )=2e^{{\pi }i{\tau }/4}\sin {\pi }v\prod _{m=1}^{\infty }{\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{2{\pi }iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi }i{\tau }}e^{-2{\pi }iv}\right)}} の対数微分により ϑ 1 ′ ( v , τ ) ϑ 1 ( v , τ ) = ∂ ∂ v log ϑ 1 ( v , τ ) = π cos π v sin π v − 2 π i ∑ m = 1 ∞ e 2 m π i τ e 2 π i v 1 − e 2 m π i τ e 2 π i v + 2 π i ∑ m = 1 ∞ e 2 m π i τ e − 2 π i v 1 − e 2 m π i τ e − 2 π i v = π cot π v − 2 π i ∑ m = 1 ∞ ( ∑ n = 1 ∞ e 2 m n π i τ e 2 π i n v ) + 2 π i ∑ m = 1 ∞ ( ∑ n = 1 ∞ e 2 m n π i τ e − 2 π i n v ) = π cot π v − 2 π i ∑ n = 1 ∞ ( ∑ m = 1 ∞ e 2 m n π i τ ) ( e 2 π i n v − e − 2 π i n v ) = π cot π v + 4 π ∑ n = 1 ∞ e 2 n π i τ 1 − e 2 n π i τ sin 2 π n v {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\vartheta _{1}'(v,\tau )}{\vartheta _{1}(v,\tau )}}&={\frac {\partial }{\partial {v}}}\log \vartheta _{1}(v,\tau )\\&={\frac {\pi \cos \pi {v}}{\sin \pi {v}}}-2\pi {i}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2m\pi {i\tau }}e^{2\pi {iv}}}{1-e^{2m\pi {i\tau }}e^{2\pi {iv}}}}+2\pi {i}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2m\pi {i\tau }}e^{-2\pi {iv}}}{1-e^{2m\pi {i\tau }}e^{-2\pi {iv}}}}\\&=\pi \cot \pi {v}-2\pi {i}\sum _{m=1}^{\infty }\left(\sum _{n=1}^{\infty }e^{2mn\pi {i\tau }}e^{2\pi {inv}}\right)+2\pi {i}\sum _{m=1}^{\infty }\left(\sum _{n=1}^{\infty }e^{2mn\pi {i\tau }}e^{-2\pi {inv}}\right)\\&=\pi \cot \pi {v}-2\pi {i}\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{m=1}^{\infty }e^{2mn\pi {i\tau }}\right)\left(e^{2\pi {inv}}-e^{-2\pi {inv}}\right)\\&=\pi \cot \pi {v}+4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{2n\pi {i\tau }}}{1-e^{2n\pi {i\tau }}}}\sin 2\pi {nv}\\\end{aligned}}} である。同様に ϑ 2 ′ ( v , τ ) ϑ 2 ( v , τ ) = − π tan π v + 4 π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n e 2 n π i τ 1 − e 2 n π i τ sin 2 π n v ϑ 3 ′ ( v , τ ) ϑ 3 ( v , τ ) = 4 π ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n e n π i τ 1 − e 2 n π i τ sin 2 π n v ϑ 4 ′ ( v , τ ) ϑ 4 ( v , τ ) = 4 π ∑ n = 1 ∞ e n π i τ 1 − e 2 n π i τ sin 2 π n v {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\vartheta _{2}'(v,\tau )}{\vartheta _{2}(v,\tau )}}&=-\pi \tan \pi {v}+4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n}}e^{2n\pi {i\tau }}}{1-e^{2n\pi {i\tau }}}}\sin 2\pi {nv}\\{\frac {\vartheta _{3}'(v,\tau )}{\vartheta _{3}(v,\tau )}}&=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{(-1)^{n}}e^{n\pi {i\tau }}}{1-e^{2n\pi {i\tau }}}}\sin 2\pi {nv}\\{\frac {\vartheta _{4}'(v,\tau )}{\vartheta _{4}(v,\tau )}}&=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n\pi {i\tau }}}{1-e^{2n\pi {i\tau }}}}\sin 2\pi {nv}\\\end{aligned}}} である。
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