ポリガンマ関数

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ポリガンマ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/13 10:08 UTC 版)

この項目では、ガンマ関数の対数微分で定義されるポリガンマ関数（polygamma function）について説明しています。E. Barnesによって導入された多重ガンマ関数（multiple gamma function）については「多重ガンマ関数」をご覧ください。

実数x に対するψ⁽ⁿ⁾(x)の挙動。 オレンジがディガンマ関数、黄色がトリガンマ関数、緑がテトラガンマ関数、赤がペンタガンマ関数、青がヘキサガンマ関数に対応する。

複素平面上でのディガンマ関数ψ(z)

複素平面上でのトリガンマ関数ψ⁽¹⁾(z)

複素平面上でのテトラガンマ関数ψ⁽²⁾(z)

複素平面上でのペンタガンマ関数ψ⁽³⁾(z)

数学において、ポリガンマ関数（ぽりがんまかんすう、英: polygamma function）とは、ガンマ関数の対数微分による導関数として定義される特殊関数。ディガンマ関数やトリガンマ関数（英語版）はポリガンマ関数の一種である。

定義

ガンマ関数 Γ(z) に対し、その対数微分

${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln {\Gamma (z)}={\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\psi (z)}$

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ポリガンマ関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)

「ガンマ関数」の記事における「ポリガンマ関数」の解説

詳細は「ポリガンマ関数」を参照 ガンマ関数の対数微分 ψ ( z ) = d d z log ⁡ Γ ( z ) をディガンマ関数（Digamma function）と呼ぶ。同様の対数微分を繰り返した関数 ψ ( n ) ( z ) = d n d z n log ⁡ Γ ( z ) を、ポリガンマ関数（Polygamma function）と呼ぶ。