級数表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/09 02:21 UTC 版)
ポリガンマ関数はz ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。 ψ ( z ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ ( 1 z + n − 1 n + 1 ) {\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{z+n}}-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}} ψ ( n ) ( z ) = ( − 1 ) n + 1 n ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}n!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{n+1}}}\qquad (n=1,2,3,\cdots )} また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように表される。 ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) z k − 1 {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)z^{k-1}} ψ ( n ) ( z + 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( n + k − 1 ) ! ζ ( n + k ) z k − 1 ( k − 1 ) ! ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z+1)=(-1)^{n+1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(n+k-1)!\zeta (n+k)z^{k-1}}{(k-1)!}}\qquad (n=1,2,3,\cdots )} 但し、γ =0.5772...はオイラーの定数、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。
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級数表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/23 18:27 UTC 版)
ディガンマ関数とその導関数は z ≠ 0 , − 1 , − 2 , − 3 , … ( z ∈ C ∖ { 0 , Z − } ) {\displaystyle z\neq 0,-1,-2,-3,\ldots (z\in \mathbb {C} \setminus \{0,\mathbb {Z} ^{-}\})} で次の級数表示を持つ。 ψ ( z ) = − γ − ∑ n = 0 ∞ ( 1 z + n − 1 n + 1 ) = − γ + ∑ n = 0 ∞ z − 1 ( n + 1 ) ( z + n ) {\displaystyle \psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{z+n}}-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(z+n)}}} ψ ( k ) ( z ) = ( − 1 ) k + 1 k ! ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) k + 1 {\displaystyle \psi ^{(k)}(z)=(-1)^{k+1}k\,!\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{k+1}}}} これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示 1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z / n {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }{\biggl (}1+{\frac {z}{n}}{\biggr )}e^{-z/n}} の対数微分から導かれるものである、 また、 z = 0 {\displaystyle z=0} でのテイラー展開により、 | z | < 1 {\displaystyle |\,z\,|<1} の領域で次のように級数表示される。 ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n ζ ( n ) z n − 1 {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}\zeta (n)z^{n-1}} ただし、 ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} はリーマンゼータ関数を表す。
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級数表示
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 03:58 UTC 版)
ブリング根のテイラー展開あるいは超幾何函数を用いた表示は以下のようである。 確認 ブリング標準形の方程式 x 5 + x + a = 0 {\textstyle x^{5}+x+a=0} は x 5 + x = − a {\displaystyle x^{5}+x=-a} の形に書くとして、 f ( x ) := x 5 + x {\textstyle f(x):=x^{5}+x} と置けば所期の根は x := f − 1 ( − a ) {\textstyle x:=f^{-1}(-a)} ということになる。 よって f − 1 {\textstyle f^{-1}} のテイラー級数は f(x) のテイラー級数を逆に解く（英語版）ことで得られる。f のテイラー級数は単純に x + x5 であるから、実際に計算すれば f − 1 ( a ) = ∑ k = 0 ∞ ( 5 k k ) ( − 1 ) k a 4 k + 1 4 k + 1 = a − a 5 + 5 a 9 − 35 a 13 + ⋯ {\displaystyle f^{-1}(a)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {5k}{k}}{\frac {(-1)^{k}a^{4k+1}}{4k+1}}=a-a^{5}+5a^{9}-35a^{13}+\cdots } となることがわかる（この級数の係数列は、各項の絶対値をとったものが オンライン整数列大辞典の数列 A2294 にある）。級数の形を見れば（奇数次の項しか出てこないから） BR ( − a ) = f − 1 ( a ) = − a + a 5 − 5 a 9 + 35 a 13 + ⋯ = − f − 1 ( − a ) {\displaystyle \operatorname {BR} (-a)=f^{-1}(a)=-a+a^{5}-5a^{9}+35a^{13}+\cdots =-f^{-1}(-a)} となり f−1 が奇函数であることが確認できる。またこの級数の収束半径は 4 / ( 5 ⋅ 5 4 ) ( ≈ 0.53499 … ) {\textstyle 4/(5\cdot {\sqrt[{4}]{5}})(\approx 0.53499\dotsc )} である。 超幾何函数を用いれば、ブリング根は BR ( a ) = − a 4 F 3 ( 1 / 5 , 2 / 5 , 3 / 5 , 4 / 5 1 / 2 , 3 / 4 , 5 / 4 ; − 5 ( 5 a / 4 ) 4 ) {\displaystyle \operatorname {BR} (a)=-a\;{}_{4}F_{3}{\Big (}{\begin{matrix}1/5,\;2/5,\;3/5,\;4/5\\1/2,\;3/4,\;5/4\end{matrix}};\;-5(5a/4)^{4}{\Bigr )}} と書ける。
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