収束半径

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収束半径

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/02/05 14:44 UTC 版)

収束半径(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、冪級数が収束する定義域を与える非負量（実数あるいは∞）である。

次の冪級数を考える。

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

ただし、中心 a や係数 c_n は複素数（特に実数）とする。次の条件が成立するとき、 r をこの級数の収束半径という。

$\left|z-a\right|<r$

であるとき、級数は収束し、

$\left|z-a\right|>r$

であるとき、級数は発散する。

もし、級数が全ての複素数 z に関して収束するならば、収束半径は ∞ となる。

収束半径の値

収束半径は、級数の各項にコーシーの冪根判定法を適用することで求めることができる。もし、

$C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$

（ $\limsup$は上極限を表す）であれば、収束半径は 1/C である。 C = 0 であれば、収束半径は無限であり、複素数平面上に特異点は存在せず、 f(z) が整関数であることを意味する。

ただ、大抵の場合はダランベールの収束判定法で事足りる。ある自然数 m が存在し、 m < n となるすべての自然数 n について c_n ≠ 0 となるとき、極限

$L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}\right|$

が存在するならば、収束半径は 1/L である。この極限は、上記の C より計算しやすい。しかし、代わりに C に関する公式を使わねばならないような場合には、 L は収束しない。

また、具体的に係数 c_n が求まらない場合は優級数を用いて評価する方法もある。複素関数の場合には、複素数 z₀ を中心としたテイラー展開の収束半径は、その点から最も近い特異点（微分できない点）までの距離に等しいことが知られている。逆に複素数平面上に級数が収束する領域を円で表すと、その収束円周上には必ず特異点が存在することになる。特異点が存在しない場合は、収束半径は無限大である。

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収束半径

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/11 13:00 UTC 版)

「冪級数」の記事における「収束半径」の解説

冪級数は変数 x がある値のときには収束し、別の値のときには発散するかもしれない。(x − c) の冪によるすべての冪級数 f(x) は x = c において収束する。（正しい値 f(c) = a0 を得るには数式 00 を 1 と解釈しなければならない。）c が唯一の収束点でなければ、必ず 0 < r ≤ ∞ なるある数 r が存在して、級数は |x − c| < r のときにはいつでも収束し、|x − c| > r のときにはいつでも発散する。この数 r をその冪級数の収束半径 (radius of convergence) と呼ぶ。一般に収束半径は次で与えられる： r = lim inf n → ∞ | a n | − 1 n , あるいは同じことだが r − 1 = lim sup n → ∞ | a n | 1 n . （これはコーシー・アダマールの定理であり。記号の説明は上極限と下極限を参照。）それを計算する速い方法は r − 1 = lim n → ∞ | a n + 1 a n | である（ただしこの極限が存在するときに限る）。 級数は |x − c| < r に対して絶対収束し、{x : |x − c| < r} の任意のコンパクト部分集合上一様収束する。つまり、級数は収束円板の内部において絶対かつコンパクト収束する。 |x − c| = r に対しては、級数が収束するか発散するかの一般的なステートメントを述べることは出来ない。しかしながら、実変数の場合には、級数が x において収束するならば級数の和は x において連続であるというアーベルの定理がある。複素変数の場合には、c と x を結ぶ線分に沿っての連続性しか主張できない。