radius of convergence

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収束半径

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2026/02/05 14:44 UTC 版)

収束半径(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、冪級数が収束する定義域を与える非負量（実数あるいは∞）である。

次の冪級数を考える。

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

ただし、中心 a や係数 c_n は複素数（特に実数）とする。次の条件が成立するとき、 r をこの級数の収束半径という。

$\left|z-a\right|<r$

であるとき、級数は収束し、

$\left|z-a\right|>r$

であるとき、級数は発散する。

もし、級数が全ての複素数 z に関して収束するならば、収束半径は ∞ となる。

収束半径の値

収束半径は、級数の各項にコーシーの冪根判定法を適用することで求めることができる。もし、

$C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}$

（ $\limsup$は上極限を表す）であれば、収束半径は 1/C である。 C = 0 であれば、収束半径は無限であり、複素数平面上に特異点は存在せず、 f(z) が整関数であることを意味する。

ただ、大抵の場合はダランベールの収束判定法で事足りる。ある自然数 m が存在し、 m < n となるすべての自然数 n について c_n ≠ 0 となるとき、極限

$L=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {c_{n+1}}{c_{n}}}\right|$

が存在するならば、収束半径は 1/L である。この極限は、上記の C より計算しやすい。しかし、代わりに C に関する公式を使わねばならないような場合には、 L は収束しない。

また、具体的に係数 c_n が求まらない場合は優級数を用いて評価する方法もある。複素関数の場合には、複素数 z₀ を中心としたテイラー展開の収束半径は、その点から最も近い特異点（微分できない点）までの距離に等しいことが知られている。逆に複素数平面上に級数が収束する領域を円で表すと、その収束円周上には必ず特異点が存在することになる。特異点が存在しない場合は、収束半径は無限大である。

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「Radius of convergence」の例文・使い方・用例・文例

• Microsoftがβ版をランチするのは「NetShow streaming server」で動画や音声をオンデマンドで提供する。
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 an admiral of the fleet 海軍元帥.
• 篏入的 r 音 《英音の India office /ndiərfɪs/の /r/の音》.
• ＝《口語》 These kind of stamps are rare. この種の[こういう]切手は珍しい.
• (英国の)運輸省. the Ministry of Education(, Science and Culture) (日本の)文部省.
• は of の誤植です.
• を off と誤植する.
• あいまい母音 《about, sofa などの /ə/》.
• 副詞的小詞 《on, in, out, over, off など》.
• 迂言的属格 《語尾変化によらず前置詞によって示す属格; たとえば Caesar's の代わりの of Caesar など》.
• çon of garlic [humor]. それにはガーリック[ユーモア]がちょっぴり必要だ.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Speaker of the House of Commons 下院議長.
• 《主に米国で用いられる》 ＝ 《主に英国で用いられる》 the Committee of Ways and Means 歳入委員会.
• 初めて読んだ英文小説は“The Vicar of Wakefield”
• （違法罪―a sin of commission―に対する）怠惰罪
• 『each』、『every』、『either』、『neither』、『none』が分配的、つまり集団の中の1つのものを指すのに対し、『which of the men』の『which』は分離的である
• 『hot off the press（最新情報）』は『hot（最新の）』の拡張感覚を示している
• 『Each made a list of the books that had influenced him』における制限節は、リストに載った本を制限節で定義された特定の本だけに制限する
• 臨床的鬱病を治療するのに用いられる三環系抗鬱薬（商品名ImavateとTofranil）
• 『sunshine-roof』は『sunroof（サンルーフ）』に対する英国の用語である