複素解析
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/02/16 13:29 UTC 版)
数学の一分野である複素解析(ふくそかいせき、英: complex analysis)は、複素数上で定義された関数の微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論などの総称であり[1]、関数論とも呼ばれる[2][3][4]。初等教育以降で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、応用数学を含む数学全般、(流体力学などの)理論物理学、(数値解析[5][6]や回路理論[7]をはじめとした)工学などの多くの分野で用いられている。
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複素関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/29 03:15 UTC 版)
複素関数とは、自由変数と従属変数がともに複素数の範囲で与えられるような関数である。より正確に言えば複素平面の部分集合上で定義された複素数値の関数が複素関数と呼ばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とに分けて考えることができる。 z = x + i y , w = f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) , {\displaystyle z=x+iy,\,w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),} ここで x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ∈ R . {\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} .} 従って複素関数の成分 u = u ( x , y ) , {\displaystyle u=u(x,y),} v = v ( x , y ) {\displaystyle v=v(x,y)} は、2つの実変数 x, y についての実数値関数だと考えることができる。複素解析の基本的な概念は、指数関数、対数関数、三角関数などの実関数を複素関数に拡張することにより与えられることが多い。
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複素関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/08/01 23:03 UTC 版)
「三角関数の公式の一覧」の記事における「複素関数」の解説
以下において、 i {\displaystyle i} は虚数単位とする。 e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,} (オイラーの公式) e − i x = cos ( − x ) + i sin ( − x ) = cos ( x ) − i sin ( x ) {\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)} e i π = − 1 {\displaystyle e^{i\pi }=-1} (オイラーの等式) cos ( x ) = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;} sin ( x ) = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;} tan ( x ) = e i x − e − i x i ( e i x + e − i x ) = sin ( x ) cos ( x ) {\displaystyle \tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}
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