スターリングの近似
スターリングの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/14 11:04 UTC 版)
詳細は「スターリングの公式」を参照 z → ∞ {\displaystyle z\to \infty } での漸近展開として、ガンマ関数はスターリングの公式で近似される。この漸近近似は複素平面全体(負の実数を除く)で成立するが、 | arg z | = π {\displaystyle |{\arg z}|={\pi }} に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は相反公式などを用いて | arg z | ≤ π / 2 {\displaystyle |{\arg z}|\leq {\pi }/2} 程度に制限することもある。 Γ ( z + 1 ) ≈ 2 π z ( z e ) z ( | arg z | < π , | z | ≫ 0 ) {\displaystyle \Gamma (z+1)\approx {\sqrt {2{\pi }z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}\qquad (|{\arg z}|<{\pi },|z|\gg 0)} lim z → ∞ Γ ( z + 1 ) 2 π z ( z e ) z = 1 ( | arg z | < π ) {\displaystyle \lim _{z\to \infty }{\frac {\Gamma (z+1)}{{\sqrt {2{\pi }z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z}}}=1\qquad (|{\arg z}|<{\pi })}
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