収束級数形式のスターリングの公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/19 22:01 UTC 版)
「スターリングの近似」の記事における「収束級数形式のスターリングの公式」の解説
トーマス・ベイズの John Canton への書簡が1763年に王立協会により公表されている。それによると、スターリングの公式は収束級数ではないとされていた。 スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。 ∫ 0 ∞ 2 arctan ( t / z ) exp 2 π t − 1 d t = ln Γ ( z ) − ( z − 1 2 ) ln z + z − 1 2 ln 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\ln \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z+z-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi } 一つの方法として、階乗冪の逆数の収束級数を使う方法がある。 z n ¯ = z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) {\displaystyle z^{\overline {n}}=z(z+1)\cdots (z+n-1)} としたとき、次のようになる。 ∫ 0 ∞ 2 arctan ( t / z ) exp 2 π t − 1 d t = ∑ n = 1 ∞ c n ( z + 1 ) n ¯ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(t/z)}{\exp 2\pi t-1}}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{\overline {n}}}}} ここで c n = 1 n ∫ 0 1 x n ¯ ( x − 1 2 ) d x {\displaystyle c_{n}={\frac {1}{n}}\int _{0}^{1}x^{\overline {n}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\,dx} である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。 ln Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) ln z − z + 1 2 ln 2 π + 1 12 ( z + 1 ) + 1 12 ( z + 1 ) ( z + 2 ) + 59 360 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ( z + 3 ) + 29 60 ( z + 1 ) ( z + 2 ) ( z + 3 ) ( z + 4 ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma (z)&=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi \\&\quad +{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+{\frac {29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)}}+\cdots \end{aligned}}} これは、 ℜ z > 0 {\displaystyle \Re z>0} のとき収束する。
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